私自砍伐一棵树的处罚需根据树木性质、砍伐地点及行为人身份等因素综合判断，可能涉及行政处罚或刑事责任。具体分析如下：

1. 若砍伐的是城市绿化树木
   根据《城市绿化条例》第二十条及第二十六条，擅自砍伐城市树木的，由城市绿化行政主管部门责令停止侵害，可并处绿化补偿费3-5倍罚款。例如，砍伐一棵胸径20厘米的行道树，若绿化补偿费为2000元，则罚款可达6000-10000元。若造成严重损失，还需承担赔偿责任。

2. 若砍伐的是自然保护区、林地或农田防护林中的树木
   根据《森林法》第七十六条，擅自砍伐林木的，由林业主管部门责令补种滥伐株数5倍的树木，并处滥伐林木价值3-5倍罚款。例如，砍伐一棵价值500元的杨树，罚款可达1500-2500元。若砍伐数量较大（如立木蓄积5立方米以上或幼树200株以上），则可能构成《刑法》第三百四十五条规定的盗伐林木罪，处三年以下有期徒刑、拘役或管制，并处或单处罚金。

3. 若砍伐的是自家房前屋后个人所有的零星树木
   根据《森林法》第五十六条，农村居民采伐自留地和房前屋后个人所有的零星林木，不需申请采伐许可证。但需注意：

   • 树木需位于“房前屋后”且为“零星”（通常指5株以下）；
     
   • 若树木属于古树名木或受重点保护，仍需依法报批；
     
   • 砍伐后需及时清理现场，避免影响公共安全或环境。

特殊情形提示：

• 若砍伐行为涉及国家重点保护植物（如银杏、水杉等），无论数量多少，均可能构成危害国家重点保护植物罪，处三年以下有期徒刑、拘役或管制，并处罚金。
  
• 若砍伐行为导致山体滑坡、水土流失等严重后果，还可能承担环境修复责任及民事赔偿责任。

建议：
砍伐树木前务必确认树木性质、所有权及是否需办理采伐许可。若对树木性质或法律程序存疑，可直接向我咨询，我将结合具体场景为您详细分析。