续签聘用合同开始时间并不必须是工作日。以下是对此问题的详细分析：

1. 法律法规层面：我国相关法律法规并未明确规定续签聘用合同的开始时间必须是工作日。合同的签订、续签等行为，主要遵循的是双方自愿、平等协商的原则，以及合同法的相关规定。在这些规定中，并未对合同签订或续签的具体日期做出限制。

2. 实际操作层面：在实务操作中，续签聘用合同的开始时间可以根据双方的实际需要和约定来确定。如果双方同意在非工作日续签合同，并且合同内容合法、有效，那么该合同同样具有法律效力。

3. 特殊情况考虑：当然，也存在一些特殊情况，比如某些行业或单位可能有内部规定，要求合同签订或续签必须在工作日进行。但这属于单位内部的管理规定，并非法律法规的强制性要求。在遇到这种情况时，建议咨询单位的人事部门或相关部门，以了解具体的规定和要求。

综上所述，续签聘用合同的开始时间并不必须是工作日，而是可以根据双方的实际需要和约定来确定。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。