公司单方面延长两个月试用期，员工可以申请赔偿。针对这一问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一. 试用期的法律规定

1. 试用期的设定与延长：根据《劳动合同法》第十九条，劳动合同期限三个月以上不满一年的，试用期不得超过一个月；劳动合同期限一年以上不满三年的，试用期不得超过二个月；三年以上固定期限和无固定期限的劳动合同，试用期不得超过六个月。同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。
2. 试用期延长的合法性：由此可知，公司单方面延长试用期是违反法律规定的，因为法律明确规定同一用人单位与同一劳动者只能约定一次试用期。

二. 申请赔偿的法律依据

1. 公司违法行为的后果：由于公司延长试用期的行为违反了《劳动合同法》的规定，因此公司这一行为构成违法。
2. 赔偿的依据：根据相关法律法规，当用人单位违反劳动合同约定或法律规定时，劳动者有权要求赔偿。员工可以依据公司违法延长试用期的事实，向公司主张赔偿责任。

三. 实际操作建议

1. 与公司沟通：首先尝试与公司进行沟通，表达对公司延长试用期的不满，并要求公司按照法律规定进行赔偿。
2. 申请劳动仲裁：如果公司拒绝赔偿或沟通无果，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会提起劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。
3. 保留证据：在申请赔偿的过程中，员工应保留好与公司签订的劳动合同、公司延长试用期的通知等相关证据，以便在仲裁或诉讼中证明自己的主张。

我的观点是，公司单方面延长试用期违反了《劳动合同法》的规定，员工有权要求公司支付赔偿金。如有进一步需要，您可以继续咨询我。