结论前置：在劳动关系起始时间的认定上，若仲裁裁定劳动关系从6月开始，而劳动合同约定的是5月开始，一般情况下，应以仲裁裁定为准，但具体还需考虑其他证据和实际情况。

分析说明：

1. 仲裁裁定的效力：

   • 仲裁裁定是劳动争议仲裁委员会根据当事人申请，依法对劳动争议进行审理后作出的具有法律效力的裁决。
   • 在没有相反证据足以推翻仲裁裁定的情况下，仲裁裁定所确认的事实（如劳动关系起始时间）通常应被采纳。

2. 劳动合同的约定：

   • 劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。
   • 劳动合同中约定的劳动关系起始时间，是双方意思表示一致的结果，对双方具有约束力。
   • 然而，当劳动合同约定与仲裁裁定不一致时，需综合考虑其他证据和实际情况来确定劳动关系的真实起始时间。

3. 其他证据和实际情况的考量：

   • 如工资支付记录、社保缴纳记录、入职登记表、考勤记录等，均可作为确定劳动关系起始时间的辅助证据。
   • 若这些证据与仲裁裁定相一致，则进一步支持了仲裁裁定的正确性。
   • 若这些证据与劳动合同约定相一致，但与仲裁裁定相冲突，则需进一步分析冲突的原因，并考虑是否需要通过诉讼等方式解决争议。

总结与建议：

• 在处理此类问题时，应优先考虑仲裁裁定的效力，但同时也不应忽视劳动合同的约定和其他证据的作用。
• 若对仲裁裁定有异议，或认为有其他证据足以推翻仲裁裁定，建议及时咨询专业律师，以便通过合法途径维护自身权益。
• 作为劳动者或用人单位，在签订劳动合同时应尽可能明确劳动关系的起始时间，并妥善保管与劳动关系相关的各项证据，以便在发生争议时能够迅速有效地解决问题。