针对您提出的问题，关于公司项目结束工作后9个月没有签订劳动合同的赔偿问题，以下是根据相关法律法规为您提供的详细解答：
一、双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
计算方式与时效：
- 您在公司工作了9个月且未签订劳动合同，因此您可以主张8个月的双倍工资差额（从用工满一个月的次日至满一年的前一日，但您只工作了9个月，所以计算8个月）。
- 请注意，劳动争议申请仲裁的时效为一年，从知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您需要在时效期内提出主张。
二、经济补偿金与赔偿金
如果劳动关系正常解除：
- 在这种情况下，由于未签订劳动合同，您可能无法直接获得经济补偿金。但您可以主张双倍工资赔偿。
如果用人单位违法解除劳动关系：
- 用人单位若违法解除劳动关系，需按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。由于您工作了9个月，赔偿金计算为2个月工资（因为六个月以上不满一年的，按一年计算，即1个月的经济补偿金乘以2）。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
三、视为已订立无固定期限劳动合同
- 虽然用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同，但您只工作了9个月，所以这一点在此情况下不适用。
四、补缴社会保险
- 用人单位有义务为劳动者缴纳社会保险。如果在这9个月期间，用人单位未为您缴纳社保，您有权要求补缴。
五、维权建议
证据收集：
- 您应收集能证明劳动关系存在的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、银行流水、同事证言等，以备维权之需。
时效意识：
- 务必在劳动争议申请仲裁的一年时效期内提出主张，避免权益受损。
法律途径：
- 首先尝试与用人单位协商，和平解决问题。
- 协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不服，还可向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
综上所述，您在公司项目结束工作后9个月没有签订劳动合同的情况下，有权要求用人单位支付双倍工资赔偿，并在用人单位违法解除劳动关系时要求支付赔偿金。同时，您还可以要求用人单位补缴社会保险。在维权过程中，请务必注重证据收集，并在时效期内通过合法途径主张权利。