工厂不给员工请假的最佳解决方法是通过合法途径维护自身权益。具体步骤如下：

一. 明确法律依据与工厂规定

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》，劳动者享有休息休假的权利。如《中华人民共和国劳动法》第三十八条规定，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日；第四十五条规定，劳动者连续工作一年以上的，享受带薪年休假。这意味着员工在符合规定的情况下有权请假。
2. 查阅工厂规章制度：员工应详细阅读劳动合同、员工手册或工厂内部的规章制度，了解关于请假的具体规定，包括请假条件、流程等，以确保请假请求符合工厂规定。

二. 积极沟通与协商

1. 与直接上级沟通：员工应首先尝试与直接上级或主管进行坦诚沟通，解释请假的原因和必要性，并提供相关证明材料。保持冷静、礼貌，并尽量用事实和数据支持请假请求。
2. 寻找替代方案：若直接请假有困难，可与上级商量其他解决方案，如调整工作时间、安排同事代班等，以减轻对工作的影响。

三. 利用内部机制与外部援助

1. 向人力资源部门反映：若与上级沟通无果，员工可向工厂的人力资源部门反映情况，寻求其介入调查并协调处理。
2. 正式投诉与申诉：利用工厂内部的投诉机制或申诉程序提出诉求，确保按照规定的流程和时间节点操作，并保留好所有书面记录。
3. 外部援助：若工厂内部无法解决问题，员工可向当地的劳动监察部门投诉，或咨询工会寻求帮助。这些机构能提供免费的法律咨询和调解服务。

四. 考虑法律途径

1. 法律咨询：若认为工厂的拒绝行为违反了劳动法或自身合法权益受到严重侵害，员工可以咨询律师或法律机构，获取专业法律意见。
2. 申请劳动仲裁：在尝试了上述途径仍无法解决问题时，员工可考虑申请劳动仲裁。劳动仲裁是一种法律途径，通过仲裁机构对劳动争议进行裁决。申请前需准备好充分的证据材料。

我建议，在整个过程中，员工应保持冷静、理智，避免与工厂发生激烈冲突，并详细记录与备份所有相关证据，以便在后续的法律程序或纠纷解决中使用。如有进一步需要，您可以继续咨询我。