首先，劳动合同丢失，劳务派遣公司不能因此拒绝履行其合同义务。劳动合同是劳动者与用人单位之间确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议，它的重要性不言而喻。然而，即便劳动合同丢失，只要双方确实存在劳动关系，且劳动者能够提供其他证据（如工资支付记录、社保缴纳记录、工作证、考勤记录等）来证明这一关系，劳务派遣公司就应当继续履行其合同义务，包括支付工资、提供福利待遇、保障劳动条件等。

接下来，我从几个角度来分析这个问题：

1. 法律角度：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位之间建立劳动关系的凭证，但并非唯一凭证。在劳动合同丢失的情况下，劳动者可以通过其他证据来证明劳动关系的存在。
   • 劳务派遣公司作为用人单位，有义务保管好劳动者的劳动合同。如果因公司管理不善导致劳动合同丢失，公司应承担相应的责任，而不能以此为由拒绝履行合同义务。

2. 实践角度：

   • 在实际操作中，如果劳动合同丢失，劳动者应尽快与劳务派遣公司沟通，说明情况，并提供其他能够证明劳动关系的证据。
   • 劳务派遣公司在核实情况后，应继续履行其合同义务，并与劳动者协商补签劳动合同或出具劳动关系证明等文件，以确保劳动者的合法权益不受损害。

3. 建议角度：

   • 对于劳动者来说，平时应妥善保管好自己的劳动合同，避免丢失或损坏。
   • 如果劳动合同确实丢失，不要慌张，及时与劳务派遣公司沟通，并提供其他证据来证明劳动关系。
   • 如果劳务派遣公司拒绝履行合同义务，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或寻求法律援助，维护自己的合法权益。

综上所述，劳动合同丢失并不意味着劳务派遣公司可以拒绝履行其合同义务。劳动者应提供其他证据来证明劳动关系的存在，并与劳务派遣公司协商解决问题。如果遇到困难或纠纷，可以及时向当地劳动监察部门或专业律师咨询求助。