私立学校不可以随意辞退老师。这一行为需严格遵循相关法律规定及与老师签订的劳动合同约定。以下是详细分析：

法律依据与辞退程序

1. 一般规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：（一）在试用期间被证明不符合录用条件的；（二）严重违反用人单位的规章制度的；（三）严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；（四）劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；（五）因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；（六）被依法追究刑事责任的。私立学校在辞退老师时，必须基于这些法定情形，并遵循法定程序。

2. 特殊合法情形：

   • 若老师存在上述法定过错情形，私立学校有权解除劳动合同，且在某些情况下无需支付经济补偿。
   • 若私立学校存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等法定过错情形，老师也有权根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条解除劳动合同，并要求学校支付经济补偿。

3. 合同约定影响：

   • 劳动合同中的特别约定对辞退条件有重要影响。若合同中约定了更具体的辞退条件或程序，私立学校在辞退老师时需遵守这些约定。

辞退后果与法律责任

• 私立学校若随意辞退老师，未按照规定提前通知或说明理由，或未支付相应的经济补偿，可能构成违法辞退。此时，老师有权要求学校继续履行劳动合同，或要求学校支付赔偿金。
• 赔偿金的标准通常是经济补偿标准的二倍，经济补偿按老师在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向老师支付。

总结与建议

私立学校在辞退老师时，应充分了解并遵守相关法律法规及劳动合同约定，确保辞退行为的合法性与合理性。在辞退前，建议与学校法务或专业律师咨询，明确辞退理由和程序，以确保双方的权益得到妥善保障。同时，老师也应了解自己的合法权益，如遇违法辞退，可及时寻求法律援助。