针对“员工工作时间睡觉被开除”这一问题，以下是我的专业分析：
结论前置：员工工作时间睡觉被开除的合法性，主要取决于用人单位的规章制度、违纪行为的严重性以及解除劳动合同的程序是否合法。
一、合法性分析
规章制度明确性：
- 用人单位必须有明确、合理且经过民主程序制定并向员工公示的规章制度，其中将工作时间睡觉等列为可解除劳动合同的情形。若规章制度不符合这些条件，则解除劳动合同可能构成违法。
违纪行为的严重性：
- 工作时间睡觉通常不被视为严重违纪，除非该行为给公司造成了重大损失或不良影响，或者该岗位对员工的警觉性有特别要求。在这种情况下，用人单位可能需要证明该行为的严重性，以支持其解除劳动合同的决定。
解除劳动合同的程序：
- 用人单位在解除劳动合同前，应确保遵循了法定的通知、协商等程序。未遵循法定程序的，即使规章制度明确且违纪行为严重，解除劳动合同也可能被视为违法。
二、后续处理
合法解除劳动合同：
- 若用人单位合法解除劳动合同，则无需支付经济补偿金，除非劳动合同或法律法规另有规定。
违法解除劳动合同：
- 若用人单位违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同或要求用人单位支付赔偿金。赔偿金标准通常为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定。
三、员工应对措施
了解规章制度：
- 员工应首先了解用人单位的规章制度，特别是关于工作时间和纪律方面的规定，以判断自己的行为是否违反了规章制度。
协商解决：
- 员工可以尝试与公司进行协商，诚恳认识错误，并请求从轻处理。这可能包括接受一定的处罚或改进计划，以避免被解除劳动合同。
申请劳动仲裁：
- 若协商不成，员工可以在规定时间内申请劳动仲裁，提供相关证据证明公司解除劳动合同的违法性。劳动仲裁委员会将对此进行裁决，员工可以根据裁决结果采取相应的法律行动。
四、用人单位建议
完善规章制度：
- 用人单位应确保规章制度的合法性和明确性，特别是关于工作时间和纪律方面的规定。同时，应定期更新和修订规章制度，以适应公司发展和员工需求的变化。
加强员工培训：
- 用人单位应通过培训增强员工对规章制度的了解和遵守意识，预防违纪行为的发生。这包括定期举办规章制度培训、发放规章制度手册等方式。
遵循法定程序：
- 在解除劳动合同前，用人单位应确保遵循了法定的通知、协商等程序。这包括提前通知员工、与员工进行协商、听取员工的申辩等步骤，以确保解除行为的合法性。
综上所述，员工工作时间睡觉被开除的合法性及后续处理需综合考虑多方面因素。员工应了解相关法律法规和规章制度，以便在遭遇不公正对待时能够有效维护自身权益；用人单位也应完善规章制度、加强员工培训和遵循法定程序，以避免不必要的法律风险。