关于“工作期间睡觉被开除，公司是否有权罚款”的问题，这实际上涉及两个层面：一是公司是否有权开除员工，二是公司是否有权在开除的同时进行罚款。以下是对这两个问题的详细解答：
一、公司是否有权开除员工
公司是否有权开除因工作期间睡觉的员工，主要取决于公司规章制度的合法性、合理性、明确性以及解除劳动合同程序的合规性。
- 规章制度合法合理且明确：
- 如果公司的规章制度已经过民主程序制定，并且已经通过培训、员工手册签收等方式合理告知劳动者，那么该规章制度具有合法性。
- 规章制度中明确将上班睡觉等严重违反劳动纪律的行为列为可解除劳动合同的情形，且该规定合理且不过于严苛。
- 公司在开除员工时，需按照规定的程序进行，如事先通知工会（如有）、给予员工陈述和申辩的机会等。
在上述条件下，公司依据规章制度开除上班睡觉的员工，属于合法解除劳动合同，通常无需支付赔偿。
- 公司规章制度存在问题：
- 如果规章制度未经民主程序制定，或规章制度不合理、不明确，或解除程序不合规，那么公司以此为由开除员工可能被认定为违法解除劳动合同，员工有权要求公司支付赔偿金。
二、公司是否有权罚款
关于公司是否有权在开除员工的同时进行罚款，这主要取决于公司的规章制度以及相关法律法规的规定。
公司规章制度：
- 如果公司的规章制度中明确规定了对于上班睡觉等违纪行为的罚款措施，并且该规章制度已经过民主程序制定并合理告知劳动者，那么公司有权根据规章制度对员工进行罚款。
- 但需要注意的是，罚款的金额应当合理，不得超过法律法规规定的上限，且不得侵犯员工的合法权益。
相关法律法规：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规的规定，用人单位不得随意对员工进行罚款。罚款应当基于明确的规章制度，并且该规章制度应当合法、合理、明确。
- 如果公司没有明确的规章制度作为依据，或者规章制度存在瑕疵，那么公司对员工进行罚款可能被视为违法。
综合建议
员工方面：
- 如果员工认为自己的权益受到了侵害，建议先与公司进行协商，了解开除和罚款的具体原因和依据。
- 协商不成的，可以向劳动监察部门投诉或者申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
- 同时，也建议及时向专业法律人士咨询，以更好地了解自己的权利和义务。
公司方面：
- 公司应当制定合法、合理、明确的规章制度，并确保这些规章制度已经过民主程序制定并合理告知劳动者。
- 在开除员工或进行罚款时，公司应当确保程序合规，并给予员工充分的陈述和申辩机会。
- 如果公司认为员工的违纪行为严重到需要开除或罚款的程度，建议先咨询专业法律人士的意见，以确保自己的行为合法合规。