关于私人老板挂靠公司开除员工的赔偿问题，这主要依据《劳动合同法》的相关规定，并结合具体情境来进行判断。以下是对此问题的详细解答：
一、赔偿的基本原则
无故辞退需双倍赔偿：
- 若私人老板无合法理由开除员工，即构成违法解除劳动合同，需按经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
法定过错辞退无需赔偿：
- 若员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊等法定过错行为，老板开除员工则无需支付任何经济补偿。
二、合法解除劳动合同的情形与赔偿
无需支付补偿的情况：
- 员工在试用期间被证明不符合录用条件。
- 员工严重违反用人单位的规章制度。
- 员工严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害。
- 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响或拒不改正。
- 员工以欺诈、胁迫手段或乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致合同无效。
- 员工被依法追究刑事责任。
需支付经济补偿的情况：
- 协商一致解除：用人单位与员工协商一致后解除劳动合同，应按员工在本单位工作年限，以每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。
- 无过失性辞退：包括员工患病或非因工负伤不能从事原工作、不能胜任工作经过培训或调整仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行且未能就变更协议达成一致等情形。此时，用人单位需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付员工一个月工资后，再支付经济补偿。
三、赔偿金的计算方法
经济补偿金：
- 根据员工在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准计算；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 其中，月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
经济赔偿金：
- 若用人单位违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
四、特殊情况的考虑
- 未签订劳动合同：
- 若私人老板未与员工签订劳动合同且用工时间超过一个月不满一年，需每月向员工支付二倍的工资作为赔偿。
五、员工的权益维护与实际操作建议
收集证据：
- 员工应妥善保存工作记录、工资条、考勤记录、劳动合同等关键证据，以备不时之需。
优先协商：
- 在面临被开除的情况时，员工可尝试与私人老板进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
法律途径：
- 若协商无果，员工可向当地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或直接向法院提起诉讼，以维护自身的合法权益。
综上所述，私人老板挂靠公司开除员工的赔偿问题涉及多个法律层面和具体情境。员工在遭遇此类情况时，应充分了解相关法律法规，并采取合适的措施来维护自己的合法权益。