行政机关必须回复履职申请。以下是对这一问题的详细解答：

一、法律依据与答复义务

根据《中华人民共和国行政复议法》和《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规，当公民、法人或其他组织向行政机关提出履职申请时，行政机关负有在法定期限内对申请进行审查，并作出答复的义务。这一规定确保了申请人的合法权益得到及时、有效的回应。如果行政机关未能在规定期限内答复或处理，申请人有权依法提起行政复议或行政诉讼，以维护自身权益。

二、答复的时限与要求

1. 答复时限：

   • 行政机关对履职申请的答复时限通常为六十天。对于情况复杂或需要进一步调查核实的案件，行政机关可以依法延长答复期限，但延长期限一般不得超过三十天。
   • 在某些紧急情况下，如涉及公共安全、重大利益等，行政机关应尽快作出答复并采取相应措施，以确保申请人的合法权益得到及时保护。

2. 答复要求：

   • 行政机关的答复应当以适当形式进行，书面回复具有正式性和法律效力，是优先选择的回复方式。它有助于保障申请人的知情权、参与权和救济权，提高行政机关的透明度和公信力。
   • 在特殊或紧急情况下，行政机关也可以选择非书面方式进行回复，如口头告知、电话通知等。但这种回复方式应确保申请人能够清晰、准确地了解答复内容，并保留相应的记录以备查证。

三、不答复的法律后果

如果行政机关在接到履职申请后，未在规定期限内履行职责或作出回复，申请人可以依法采取以下措施：

1. 提起行政复议：申请人可以向上一级行政机关或法定的行政复议机关申请行政复议，要求复议机关对原行政机关的不作为进行审查，并作出相应的复议决定。
2. 提起行政诉讼：如果行政机关对履职申请未作出回复，或者申请人对行政机关的回复有异议，申请人可以向人民法院提起行政诉讼，请求法院对行政机关的行政行为进行审查，并作出判决。

四、实际案例与启示

在实际操作中，行政机关应严格遵守相关法律法规和行政法原则，确保对履职申请的及时、准确回复。例如，在餐饮店油烟污染等案例中，居民向行政机关投诉并要求履行职责，行政机关应当积极回应并采取措施解决污染问题。如果行政机关未能及时回应或处理不当，居民可以依法提起行政复议或行政诉讼，以维护自身权益。

综上所述，行政机关在收到履职申请后，必须依法进行审查，并在规定期限内以适当形式给予明确答复。这不仅是行政机关的法定职责，也是保障公民、法人和其他组织合法权益的重要举措。