针对您提出的问题，即在公司上班一个多月就被裁员，且期间未购买社保也未签订劳动合同的情况，您完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是对您问题的详细解答：

一、法律依据

1. 劳动合同的签订：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十条，建立劳动关系时，应当订立书面劳动合同。若已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同，则应在用工之日起一个月内完成签订。

2. 未签订劳动合同的赔偿：该法第八十二条规定，若用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，需向劳动者每月支付二倍的工资作为赔偿。

3. 社保的缴纳：用人单位有义务为员工缴纳社保，未依法缴纳社保也违反了相关法律法规。

二、仲裁前的准备

1. 确认劳动关系：收集并整理所有能证明您与该公司存在劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言、与公司的沟通记录（包括电子邮件、短信、通话记录等）。

2. 明确仲裁请求：您可以主张从用工满一个月起至实际工作期间的二倍工资差额，并可以要求公司补缴社保。如果公司存在其他违法行为，如拖欠工资，也可以在仲裁申请中一并提出。

3. 了解仲裁时效：根据《劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。请确保在时效期内提出仲裁申请。

三、仲裁流程

1. 提交申请：准备仲裁申请书（包含申请人和被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由等）、证据材料及身份证复印件，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会提交申请。

2. 受理与通知：仲裁委员会将审查您的申请材料，并在符合受理条件时通知双方当事人，送达相关材料。

3. 开庭审理：仲裁庭会安排开庭时间，届时您可以陈述自己的观点、提供证据并进行辩论。

4. 裁决与后续：仲裁庭会根据审理情况作出裁决。如果您对裁决结果不服，可以在规定期限内向人民法院提起诉讼。

四、建议与提醒

• 在提起仲裁前，可以尝试与公司进行协商，要求其尽快签订劳动合同并补缴社保，以避免不必要的法律纠纷。
• 保留好所有与劳动关系相关的证据材料，这是仲裁成功的关键。
• 了解并遵守仲裁时效规定，确保自己的合法权益得到有效保护。

综上所述，您完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。在申请仲裁前，请务必做好充分的准备，并了解相关的法律法规和仲裁流程。希望您能够顺利解决这个问题。