当公司和员工双方的劳动合同都丢失时，这确实是一个需要谨慎处理的问题。不过不必担心，以下是我为您整理的解决步骤和建议：

一、明确责任与现状

首先，双方应共同确认劳动合同确实已经丢失，并明确这一事实。同时，应回顾是否曾有过劳动合同的复印件、扫描件或电子版本，这些都可以作为后续处理的依据。

二、尝试恢复或重建合同

1. 搜索备份：检查公司档案、电子邮箱、云存储等可能存放合同备份的地方，看是否能找到合同的电子版或复印件。
2. 协商重建：如果无法找到备份，双方可以基于记忆和过往的沟通记录，尝试重建合同的主要内容，如工作岗位、薪资待遇、工作时间等。

三、利用其他证据证明劳动关系

即使劳动合同丢失，也可以通过其他证据来证明劳动关系的存在。这些证据包括但不限于：

• 工资支付记录：银行流水、工资单等；
• 社保缴纳记录：社保缴费凭证、社保查询截图等；
• 工作证件：工作证、服务证、入职通知书等；
• 考勤记录：打卡记录、请假记录等；
• 同事证言：同事的书面或口头证言，证明你与公司的劳动关系。

四、重新签订劳动合同

如果可能，双方应尽快重新签订一份新的劳动合同，以明确双方的权利和义务。在重新签订时，应确保合同内容符合当前法律法规的要求，并尽量与原合同保持一致。

五、向劳动监察部门求助

如果公司在劳动合同丢失后拒绝配合或提出不合理要求，员工可以向当地劳动监察部门投诉，请求其介入调查并维护自己的合法权益。

六、加强合同管理

为了防止类似情况再次发生，公司和员工都应加强合同管理。建议：

• 设立专门的合同存放区域，确保合同的安全；
• 定期对合同进行整理和检查，确保合同的完整性；
• 考虑使用电子合同管理系统，提高合同管理的效率和安全性。

综上所述，虽然劳动合同丢失可能会带来一些不便，但只要双方积极配合，采取正确的措施，仍然可以有效地维护自己的合法权益。如果您在这一过程中遇到任何法律问题或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。