单位把员工的劳动合同丢了，单位可以采取以下措施来妥善处理这一问题：
与员工协商补签劳动合同：
- 单位应及时与员工沟通，诚恳说明合同遗失的情况，并取得员工的理解。
- 重新签订一份与原合同内容一致的劳动合同，并在合同中注明补签的原因和日期。这样做可以确保双方权益得到保障，避免因合同遗失而引发的法律纠纷。
收集旁证材料以证明劳动关系：
- 如果员工不愿意补签劳动合同，单位需要收集其他能够证明劳动关系的材料。
- 这些材料包括但不限于工资支付凭证、考勤记录、工作证、服务证等。这些旁证材料在后续可能发生的劳动纠纷中，可以作为认定劳动关系存在的依据。
向劳动行政部门备案：
- 在补签劳动合同或收集到相关证明材料后，单位应将情况向当地劳动行政部门备案。
- 备案的目的是为了降低法律风险，并在后续可能发生的劳动纠纷中，作为单位积极处理问题的证据。
可能引发的法律后果及应对建议：
若因合同遗失引发劳动纠纷：
- 根据法律规定，单位需承担举证责任。此时，单位可以利用之前收集的工资支付记录、考勤记录等证据，来证明与员工存在劳动关系以及双方的权利义务。
- 为避免纠纷升级，单位应积极与员工沟通，寻求和解或调解的可能性。如果无法达成和解，单位应做好应诉准备，包括准备相关证据和法律文件。
为防止类似情况再次发生：
- 单位应建立完善的合同管理制度，对合同的签订、保管、借阅等环节进行规范。
- 例如，可以设立专门的合同保管区域，由专人负责合同的保管和借阅登记。同时，定期对合同进行盘点和检查，确保合同的完整性和安全性。
实际案例参考：
- 假设某单位不慎丢失了与员工签订的劳动合同。单位首先与员工沟通，说明情况并请求补签。员工同意后，双方重新签订了一份与原合同内容一致的劳动合同，并在合同中注明了补签的原因和日期。
- 如果员工不同意补签，单位则收集了工资支付凭证、考勤记录等旁证材料，并向当地劳动行政部门进行了备案。后来，该员工以劳动合同丢失为由与单位产生了劳动纠纷。在纠纷处理过程中，单位利用之前收集的证据成功证明了与员工存在劳动关系，并维护了自身的合法权益。
综上所述，单位在丢失员工劳动合同后，应积极与员工沟通并采取补救措施，以降低法律风险并维护劳动关系的稳定。如果遇到任何法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。