建工案件的设计和质量鉴定应由相关方根据具体情况申请，通常包括建设单位、施工单位、监理单位以及可能涉及的业主或受害方等。详细分析如下：

一. 设计鉴定申请

1. 建设单位申请：

   • 建设单位作为项目的发起方，对工程设计负有主要责任。若设计存在问题，建设单位有权也有责任申请设计鉴定，以明确设计责任，为后续处理提供依据。

2. 施工单位申请：

   • 施工单位在施工过程中，若发现设计图纸与实际情况存在严重不符或设计本身存在明显错误，可以提出设计鉴定申请，以证明自身施工无误，避免承担不应有的责任。

3. 监理单位申请：

   • 监理单位作为独立的第三方，负责监督工程质量和施工进度。在监理过程中，若发现设计问题可能影响工程质量或安全，监理单位可以提出设计鉴定申请。

二. 质量鉴定申请

1. 建设单位申请：

   • 工程竣工验收前或交付使用后，建设单位为确保工程质量符合合同约定和国家标准，可以申请质量鉴定。

2. 业主或受害方申请：

   • 业主或使用者在工程交付后发现质量问题，如房屋裂缝、渗漏等，可以申请质量鉴定，以维护自身合法权益。

3. 施工单位申请：

   • 施工单位在完成施工任务后，为证明工程质量符合合同约定，或在面临质量争议时，可以申请质量鉴定。

4. 监理单位申请：

   • 监理单位在监理过程中，若发现工程质量问题，或需要对工程质量进行全面评估时，可以申请质量鉴定。

三. 鉴定机构的选择

• 设计鉴定和质量鉴定均应由具有法定资质和专业能力的机构进行，如法定的工程质量监督机构、专业司法鉴定机构以及科研院所及高校的专业实验室等。

我建议：在实际操作中，相关方应根据具体情况和合同约定，及时提出设计或质量鉴定申请，并选择合适的鉴定机构进行鉴定。如有进一步需要，您可以继续咨询我。