结论前置：延长工龄后继续上班，是否可以和单位协商签半年的合同，这主要取决于双方协商一致以及是否符合相关法律法规的规定。在一般情况下，劳动合同期限是由用人单位和劳动者协商确定的，只要双方达成一致，且不违反法律强制性规定，就可以签订相应期限的劳动合同。
详细分析：
合同期限的协商：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，劳动合同分为固定期限劳动合同、无固定期限劳动合同和以完成一定工作任务为期限的劳动合同。其中，固定期限劳动合同是指用人单位与劳动者约定合同终止时间的劳动合同。
- 在你提到的情境中，延长工龄后继续上班，如果双方同意签订半年的合同，那么这完全属于双方协商一致的范畴，是合法的。
法律限制与要求：
- 虽然双方可以协商合同期限，但也需要遵守法律的相关规定。例如，劳动合同期满，经双方协商一致，可以续订劳动合同，并在劳动合同期满前办理续订手续。
- 另外，如果劳动者在同一用人单位连续工作满十年，或者连续订立二次固定期限劳动合同且劳动者没有法定情形被用人单位解除或终止劳动合同的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。这一规定在某些情况下可能对合同期限的协商产生影响。
实际操作建议：
- 在与用人单位协商合同期限时，建议明确双方的权利和义务，确保合同内容合法、有效。
- 如果对劳动合同期限或相关内容有疑问，可以及时向用人单位的人力资源部门咨询，或者寻求专业律师的帮助。
综上所述，延长工龄后继续上班，与单位协商签半年的合同是可行的，前提是双方协商一致且符合相关法律法规的规定。在协商过程中，建议明确合同内容，确保双方权益得到保障。如果有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。