关于虚开增值税普通发票不起诉的问题，我们可以从多个维度进行深入分析。以下是对此问题的详细解答：
一、不起诉决定的类型及条件
在涉及虚开增值税发票的行为时，人民检察院根据《刑事诉讼法》及相关法律规定，有可能作出不起诉决定。这些决定主要基于以下几种情形：
法定不起诉：
- 事实认定错误：若侦查发现所谓的“虚开行为”并不存在，或发票虽有形式瑕疵但实质不属虚开，应不起诉。
- 已过追诉时效：如犯罪已过相应追诉时效期限，且不存在延长情形，应不起诉。例如，某案件虚开的税款数额对应法定最高刑为三年以下有期徒刑，追诉期为五年。若超过此期限，则可能不起诉。
- 犯罪嫌疑人死亡：在侦查或审查起诉阶段，若犯罪嫌疑人死亡，则依法应不起诉。
酌定不起诉：
- 情节轻微：虚开金额较小，且嫌疑人具有自首、立功等情节，可以不起诉。
- 主观恶性较小：非出于骗取税款故意，而是因管理不善或误解税收政策导致，且及时纠正并配合调查，可考虑不起诉。
- 赔偿损失并取得谅解：已赔偿税款损失并取得税务机关谅解，可酌情不起诉。
- 初犯且积极配合：系初犯，积极配合调查并有悔罪表现，可予不起诉。
证据不足不起诉：
- 若现有证据无法充分证明交易的虚假性，或存在真实交易可能性无法排除，应不起诉。
- 不能证明嫌疑人明知是虚开而故意为之，属于证据不足，应不起诉。
合规不起诉（探索性制度）：
- 企业主动发现并报告虚开行为，积极整改、消除违法经营，依法补缴税款等，检察机关可探索实施合规不起诉。
二、案例分析
通过具体案例可以更好地理解不起诉决定的适用情况。例如：
- 某财务人员虚开数额较小的增值税专用发票后主动自首、退还全部款项并取得谅解，因其悔罪表现良好，检察机关决定不起诉。
- 小企业负责人为减少税负虚开小额发票，被查获后主动承认错误并积极配合，因其系初犯且有良好悔罪表现，检察机关决定不起诉。
三、被不起诉后的法律后果
虽然被不起诉后不再承担刑事责任，但可能仍需承担行政处罚和民事赔偿责任。税务机关可能对虚开行为进行处罚，并要求补缴税款和滞纳金。
四、如何争取不起诉
犯罪嫌疑人应积极配合调查，主动自首并退赃，表现出悔罪态度，争取受害方谅解，并通过法律途径请律师进行专业辩护，向检察机关申请不起诉。
五、受害方的救济途径
如果认为不起诉决定不符合法律规定，受害方可以向上级检察机关申请复议，以维护自身合法权益。
综上所述，虚开增值税发票罪的不起诉决定是一个综合考量多方面因素的过程。犯罪嫌疑人及其辩护律师应充分了解相关法律规定和司法实践，积极争取有利的法律后果。同时，受害方也应了解自身的救济途径。