当保险公司和单位都需要病假条原件时，这确实可能给您带来一些困扰。不过，您可以尝试以下几种方法来解决这个问题：

首先，您可以与医院沟通，看是否能开具多份病假条原件，或者至少提供一份原件和若干份复印件，并请医院在复印件上加盖公章，以证明其真实性。有些医院是愿意为患者提供这样的帮助的，特别是在了解到您面临的具体情况后。

如果医院无法提供多份原件或加盖公章的复印件，您可以考虑向单位或保险公司说明情况，看是否可以接受复印件或者电子版的病假条。在解释时，您可以强调原件的唯一性，并承诺提供的复印件或电子版与原件内容完全一致。有些单位或保险公司可能会理解并接受这样的解决方案。

另外，您也可以尝试与单位的人事部门或保险公司的客服部门协商，看是否可以灵活处理这个问题。例如，您可以询问是否可以先将原件提交给一方，然后在一定时间内将原件取回再提交给另一方。或者，双方是否可以共同约定一个时间地点，让您出示原件以供查验，并在此基础上接受复印件或电子版。

总之，面对这种情况，最重要的是保持沟通，并尝试寻找双方都能接受的解决方案。希望这些建议能对您有所帮助！