案子到执行阶段仍然可以申请再审。以下是详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。
   • 执行完毕后，据以执行的判决、裁定和其他法律文书确有错误，被人民法院撤销的，对已被执行的财产，人民法院应当作出裁定，责令取得财产的人返还。

2. 申请再审的条件：

   • 当事人必须在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出再审申请，特殊情况（如新证据的出现）可以在自知或应知之日起六个月内提出。
   • 再审申请必须符合法定条件，如有新证据足以推翻原判决、裁定，或者原判决、裁定适用法律确有错误等。

3. 再审程序的影响：

   • 当事人申请再审的，不停止判决、裁定的执行。但再审申请被受理且法院决定再审的，法院可以裁定中止原判决、裁定、调解书的执行。
   • 如果再审改判，原执行程序中的相关行为将依据再审结果进行相应调整。

4. 实际案例：

   • 在实际案例中，不乏执行阶段申请再审并成功改判的情况。这通常涉及原判决、裁定存在重大错误，或者出现了新的关键证据。

综上所述，案子到执行阶段仍然可以申请再审，但必须符合法定条件，并在规定的时间内提出。如果再审申请被受理且法院决定再审，将可能对原执行程序产生影响。因此，在执行阶段申请再审是一个需要谨慎考虑并充分准备的过程。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。