执行案件申请再审期间，原则上不停止执行。以下是对此结论的详细解释：

1. 一般原则：

   • 根据相关法律规定，案件进入再审阶段，原判决和裁定通常继续执行，不会因再审申请的提出而自动停止。这是为了维护法律判决的稳定性和权威性，确保当事人的合法权益得到及时实现。

2. 特殊情形：

   • 尽管原则上不停止执行，但存在特定情形时，法院可以裁定中止执行。这些情形包括但不限于：再审申请人提供充足且有效的担保、案外人对执行标的提出有理由的异议、判决等认定事实的主要证据是伪造的、审判人员在审理该案件时有贪污受贿等行为。
   • 另外，对于追索赡养费、扶养费、抚育费、抚恤金、医疗费用、劳动报酬等特定类型的案件，法院在再审期间也可以裁定不中止执行，以保障这些涉及基本生活需求的权益得到及时保障。

3. 法院裁定：

   • 是否停止执行，最终由法院根据案件的具体情况和相关法律规定进行裁定。当事人对是否停止执行存在异议的，可以向法院提交书面申请，由法院进行审查并作出裁定。

4. 法律建议：

   • 如果你是执行案件的当事人，且认为继续执行可能给你造成难以弥补的损害，你可以向法院申请中止执行，并提供充分的证据和理由支持你的申请。
   • 同时，你也可以咨询专业律师（如本人李笠律师），以获取更具体的法律建议和帮助，确保你的合法权益得到妥善维护。

综上所述，执行案件申请再审期间，原则上不停止执行，但存在特定情形时，法院可以裁定中止执行。当事人应根据自身情况和法律规定，及时向法院提出申请并寻求专业法律帮助。