结论前置：在民事案件申请执行后，当事人仍然有权申请再审，且申请执行与申请再审并不冲突。但申请再审并不必然导致原审判决的改变，需严格遵循法律规定的条件和程序。以下是对此问题的详细解答：

一、申请再审的法律依据与条件

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，如认为存在错误，均有权向上一级人民法院申请再审。对于当事人一方人数众多或双方均为公民的案件，也可选择向原审人民法院提出再审申请。申请再审需符合以下任一情形：

1. 有新证据足以推翻原判决、裁定；
2. 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明；
3. 主要证据是伪造的或未经质证；
4. 当事人因客观原因不能自行收集主要证据，且法院未调查收集；
5. 原判决、裁定适用法律错误；
6. 审判组织不合法或应回避人员未回避；
7. 无诉讼行为能力人未参加诉讼；
8. 剥夺当事人辩论权利；
9. 未经传票传唤，缺席判决；
10. 原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求；
11. 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更；
12. 审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。

二、申请执行与申请再审的关系

• 并行不悖：申请执行是基于生效法律文书所确定的义务未得到履行时，权利人向法院请求强制实现其权益的程序。而申请再审则是针对生效裁判可能存在的错误，寻求法院重新审理的救济途径。两者在法律上并无冲突，可同时进行。
• 执行不停歇：一般情况下，当事人提出再审申请并不会影响原判决、裁定的执行。即，即便再审程序启动，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行。

三、再审对执行的影响及特定情形

• 中止执行的例外：若再审法院经审查决定再审，并认为有必要中止原判决、裁定、调解书的执行，将作出相应裁定。但涉及追索赡养费、扶养费、抚育费、抚恤金、医疗费用、劳动报酬等民生类案件，为保障基本生活需求，即使再审程序启动，执行也可能不被中止。
• 再审结果的不确定性：值得注意的是，申请再审并不意味着原审判决一定会被改变。再审程序需严格遵守法定条件与程序，且申请人需提供充分证据以证明原审判决存在错误。

四、申请再审的步骤与注意事项

1. 准备再审申请书：详细写明当事人信息、原审法院名称、原审裁判文书案号、具体再审请求、申请再审的法定事由及具体事实理由。一式多份，数量需满足法院及对方当事人需求。
2. 提交身份证明：自然人提供身份证复印件，法人或其他组织提供营业执照副本复印件及法定代表人身份证明。
3. 提供原审裁判文书：提供原审判决书、裁定书、调解书的原件或核对无误的复印件。
4. 准备支持材料：包括新证据及其说明，或其他证明申请再审事由的材料。
5. 确定申请再审的法院：向上一级人民法院申请再审，但当事人一方人数众多或双方均为公民时，也可向原审人民法院申请。
6. 注意时间限制：应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。若有新证据、伪造证据、法律文书被撤销或变更、审判人员违法等特定情形，自知道或应当知道之日起六个月内提出。

五、实例说明

以合同纠纷为例，假设法院判决后，败诉方未按判决履行义务，胜诉方遂申请强制执行。在执行过程中，若败诉方发现了新证据，足以推翻原判决，此时败诉方完全有权利依法申请再审。同时，除非再审法院作出特别裁定，否则原执行程序将继续进行，以确保胜诉方的合法权益得到及时保护。

综上所述，申请执行后仍可申请再审，但需注意再审程序的法定性与结果的不确定性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。