离职员工没有劳动合同且拖欠两个月工资，可以申请劳动仲裁。以下是对此问题的详细分析：

一、事实劳动关系的认定

即便未签订书面劳动合同，若劳动者能证明为用人单位提供了劳动、接受用人单位管理，且用人单位支付了劳动报酬等，即可认定存在事实劳动关系。这可以通过工作证、考勤记录、同事证言、工资支付记录等证据来证明。

二、未签订劳动合同的双倍工资差额

根据法律规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，在离职时，若用人单位存在未及时足额支付劳动报酬且未签订劳动合同的情形，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资差额。

三、劳动仲裁的申请

1. 准备证据：收集能证明劳动关系及工资数额的证据，如工作证、考勤记录、工资条、同事证言、工作聊天记录等。
2. 提交申请：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付拖欠的工资及双倍工资差额。
3. 仲裁过程：仲裁委员会将依据相关法律法规和证据进行裁决。若劳动者对仲裁结果不满意，还可在规定时间内向人民法院提起诉讼。

四、法律建议

1. 及时维权：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，离职后应尽快申请仲裁，以维护自身合法权益。
2. 全面准备：在申请仲裁前，应全面收集证据，确保能够证明劳动关系及工资数额，以增加胜诉的可能性。

综上所述，离职员工在没有劳动合同且拖欠两个月工资的情况下，完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。若你在此过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。