结论前置：工龄满10年的员工有权要求单位签订无固定期限劳动合同，若单位拒绝签订，员工可通过协商、投诉、仲裁、诉讼等途径维护自身权益。
法律规定与员工权利
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，当劳动者在一家用人单位连续工作满十年时，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。
员工权利：
- 您有权向用人单位提出签订无固定期限劳动合同的要求。
- 若用人单位拒绝签订，您有权要求单位继续履行劳动关系，并可依法要求单位承担相应的法律责任，如支付经济补偿金或赔偿金。
单位责任与应对策略
单位责任：
- 单位在接到您提出签订无固定期限劳动合同的要求后，应与您进行协商，并在合理时间内给予答复。
- 若单位无正当理由拒绝签订，可能面临支付经济补偿金、赔偿金等法律不利后果。
员工应对策略：
- 友好协商：首先尝试与单位进行友好协商，明确告知单位您符合签订无固定期限劳动合同的条件，并要求依法签订合同。
- 向劳动监察部门投诉：若协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，由其对单位遵守劳动法律、法规的情况进行监督检查，并责令单位改正违法行为。
- 申请劳动仲裁：您还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供证明自己在单位连续工作满10年的证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）。若仲裁认定单位存在违法行为，可能会裁决单位与您签订无固定期限劳动合同，并要求单位支付自应当订立无固定期限劳动合同之日起的二倍工资。
- 提起诉讼：若对仲裁结果不满意，您可以在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自己的合法权益。
注意事项与证据保留
确保工龄连续：请确保您的工龄确实已经满了10年，并且这10年是在同一家用人单位连续工作的。
保留相关证据：请保留好所有相关的证据和文件，如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等，以便在维权过程中使用。这些证据将有助于证明您在单位连续工作满10年的事实，以及单位拒绝签订无固定期限劳动合同的行为。
了解当地政策：不同地区的具体规定可能会有所不同，因此请了解当地的法律法规和政策，以便更好地维护自己的权益。
可能的法律后果
若单位拒绝签订无固定期限劳动合同，且您通过合法途径维权成功，单位可能面临以下法律后果：
- 支付经济补偿金：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，单位可能需要向您支付经济补偿金，具体数额根据您的工龄和工资水平确定。
- 支付赔偿金：若单位的行为构成违法解除劳动合同，您还有权要求单位支付赔偿金，赔偿金的数额通常是经济补偿金的两倍。
- 签订无固定期限劳动合同：若仲裁或诉讼认定单位存在违法行为，单位可能被裁决与您签订无固定期限劳动合同。
综上所述，工龄满10年的员工在要求签订无固定期限劳动合同时享有明确的法律权利。若单位拒绝签订，您可以通过协商、投诉、仲裁、诉讼等多种途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。