结论前置：干了半个月被辞退的员工，有权根据辞退的合法性要求公司支付相应的经济补偿或赔偿金。具体维权步骤包括确认辞退原因、计算应得赔偿、保留证据、与公司协商、申请劳动仲裁，以及对仲裁结果不满意时提起诉讼。
一、确认辞退原因的合法性
合法辞退情形：
- 如果公司能够证明员工存在严重违反规章制度、试用期不符合录用条件等法定理由，那么公司辞退员工是合法的，无需支付经济补偿。但公司需提供充分证据证明辞退依据和程序的合法性。
违法辞退情形：
- 若公司无故辞退员工，如无任何正当理由仅以公司经营调整为由，则构成违法解除劳动合同。在此情况下，员工有权要求公司支付赔偿金。
二、计算经济补偿或赔偿金
经济补偿：
- 对于工作不满六个月的员工，根据《劳动合同法》第四十七条，公司应支付半个月工资作为经济补偿。月工资计算基于劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，若工作不满十二月，则按实际工作月数计算。
- 计算公式：经济补偿 = 月工资 × 0.5（工作不满六个月）
赔偿金：
- 若公司违法辞退员工，根据《劳动合同法》第八十七条，公司需支付双倍经济补偿作为赔偿金，即一个月工资。
- 计算公式：赔偿金 = 月工资 × 1（违法辞退，双倍经济补偿）
三、保留并准备相关证据
- 员工应妥善保存劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等证明劳动关系及被辞退事实的证据。这些证据在后续与公司协商或申请劳动仲裁时将起到关键作用。
四、与公司协商赔偿
选择合适时机与地点：
- 在正常工作时间内，与公司人力资源部门或相关负责人进行面对面沟通。
协商过程：
- 明确指出公司辞退行为的违法之处（如适用），依据法律规定提出赔偿要求，并保持冷静理性，以事实和法律为依据进行沟通。
五、申请劳动仲裁
仲裁时效：
- 员工应在知道或应当知道其权利被侵害之日起一年内申请劳动仲裁。
提交材料：
- 包括仲裁申请书、身份证复印件、相关证据材料及用人单位工商登记信息等。
仲裁程序：
- 仲裁委员会受理后将安排开庭审理，员工需充分阐述观点和证据，反驳公司不合理主张。
六、对仲裁结果不满意的处理
- 若对仲裁裁决结果不满意，员工可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
- 一旦法院判决生效，公司应履行支付赔偿等义务。如不履行，员工可向法院申请强制执行。
七、特殊情况处理
- 若涉及未支付的劳动报酬、加班工资等，员工也可在仲裁或诉讼中一并要求公司支付。
示例说明：假设员工月工资为5000元，工作半个月后被违法辞退，那么员工有权要求公司支付一个月工资作为赔偿金，即5000元。如果公司拒绝支付，员工可以通过上述流程申请劳动仲裁或提起诉讼来维护自己的合法权益。
在整个过程中，保留好相关证据是维权成功的关键。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。