结论前置：刑事拘留37天后被逮捕，并不意味着取保候审的可能性完全丧失。只要案件尚未判决，且符合《中华人民共和国刑事诉讼法》规定的条件，犯罪嫌疑人或被告人仍然有权申请取保候审，但相较于逮捕前，此时申请的难度通常会更大。

详细分析如下：

一、取保候审的法律依据与条件

根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：

1. 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：

   • 这通常适用于犯罪行为较为轻微，可能被判处较轻刑罚的情况。

2. 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的：

   • 司法机关会综合考虑犯罪嫌疑人的犯罪性质、情节、悔罪表现及平时表现等多方面因素来判断是否“不致发生社会危险性”。例如，初犯、偶犯，积极配合调查，如实供述罪行，积极退赃退赔等情况，都可能成为取保候审的有利条件。

3. 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的：

   • 出于人道主义考虑，对于这类特殊身体状况的犯罪嫌疑人，如果确保不致发生社会危险性，可以申请取保候审。

4. 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续采取取保候审措施的：

   • 在案件侦查、审查起诉或审判过程中，由于复杂性可能导致羁押期限已满但案件尚未办理完毕。此时，为避免超期羁押，可以变更强制措施为取保候审。

二、批捕后取保候审的难点与可能性

批捕通常意味着检察机关认为犯罪嫌疑人存在社会危险性，因此批捕后取保候审的难度会相对增加。然而，这并不意味着在整个诉讼过程中都不能申请或获得取保候审。如果后续出现新的情况或证据，表明犯罪嫌疑人已不符合逮捕条件或取保候审不致发生社会危险性，那么成功申请的可能性仍然存在。

三、申请取保候审的建议

1. 及时咨询专业律师：

   • 律师能够更准确地评估案件情况，制定有效的申请策略，并提供全面的法律帮助和支持。作为专业律师，我会根据你的具体情况，为你提供详细的法律意见和帮助。

2. 准备充分的申请材料：

   • 包括取保候审申请书、相关证据材料等，以证明你符合取保候审的条件。例如，如果你患有严重疾病，需要提供医疗证明；如果你有稳定的住所和工作，需要提供相关证明材料。

3. 积极配合司法机关的工作：

   • 在申请取保候审过程中，要积极配合司法机关的工作，如实供述罪行，积极退赃退赔等，以降低社会危险性评估的风险。

举例说明：

假设张三因涉嫌盗窃被刑事拘留37天后被逮捕。在逮捕后，张三的家属找到我咨询取保候审的可能性。经过详细了解案情和张三的个人情况后，我发现张三系初犯、偶犯，且盗窃金额不大，同时张三患有严重的心脏病需要长期治疗。基于这些情况，我认为张三符合取保候审的条件，并协助其家属准备了充分的申请材料。最终，在司法机关的综合评估下，张三成功获得了取保候审。

总结与建议：

刑事拘留37天后被逮捕并不意味着取保候审的可能性完全丧失。只要符合法律规定的条件，并遵循正确的申请流程，仍有可能获得成功。因此，我建议你或你的亲友在面临此类情况时，尽快向我咨询，以便更详细地了解相关法律规定、操作流程以及如何针对个人情况准备有效的申请材料。同时，也要保持冷静和理性，积极寻求法律帮助，以最大限度地维护自身合法权益。