政府收到履职申请60天未出具行政答复的，申请人可通过行政复议或行政诉讼途径维权。具体分析如下：

1. 法定答复期限与超期后果
   根据《中华人民共和国行政复议法》第十一条及《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条，行政机关对履职申请的答复期限通常为60日（法律、法规另有规定的除外）。若行政机关超期未答复，属于行政不作为，申请人有权通过法律程序督促其履行职责或确认其违法。

2. 维权途径选择

   • 行政复议：
     申请人可向上一级行政机关或本级人民政府申请复议，要求确认原行政机关未答复行为违法，并责令其限期答复。复议程序具有效率优势，通常需60日内作出决定（特殊情况可延长30日）。
     
   • 行政诉讼：
     若复议未解决或申请人直接选择诉讼，可向法院提起行政诉讼，请求判决行政机关履行答复职责或确认其违法。诉讼程序需注意起诉期限（通常为知道行政机关不作为之日起6个月内）。

3. 操作建议

   • 证据固定：
     保留履职申请的邮寄凭证、签收记录、书面材料等，证明行政机关已收悉申请且超期未答复。
     
   • 程序衔接：
     若选择复议，需在知道行政机关不作为之日起60日内提出；若直接诉讼，需在6个月内起诉。复议与诉讼不可同时进行，但复议后可再诉讼。
     
   • 诉求明确：
     在复议申请或起诉状中，需明确要求行政机关履行答复职责或确认其违法，避免诉求模糊导致程序空转。

4. 特殊情形处理

   • 紧急情况：
     若履职申请涉及重大人身、财产权益（如紧急救助、危险排除等），可依据《行政诉讼法》第四十七条，要求行政机关在2日内履行或答复，逾期可立即起诉。
     
   • 程序瑕疵补正：
     若行政机关在超期后作出答复，但答复内容违法或不当，申请人仍可针对答复内容申请复议或提起诉讼。

行动提示：建议根据具体案情（如申请事项性质、行政机关层级等）选择合适途径，并优先通过书面形式固定证据。如有进一步疑问，可直接向我咨询行政程序或诉讼策略。