若履职申请书催告后行政机关仍不下发履职答复意见书，可采取以下措施：

1. 再次催告并明确期限
   通过书面形式（如律师函或挂号信）再次向行政机关发出催告，明确要求其在15个工作日内出具书面答复，并保留寄送凭证（如邮寄回执、签收记录）。根据《行政程序法》及相关规定，行政机关对履职申请原则上应在2个月内处理并答复，催告可强化其履责义务。

2. 申请行政复议
   若催告后仍无答复，可向该行政机关的上一级主管部门或同级人民政府申请行政复议，请求确认其不作为违法并责令限期答复。需提交材料包括：履职申请书、催告记录、行政机关签收凭证等。复议机关一般需在60日内作出决定。

3. 提起行政诉讼
   若复议未果或直接选择诉讼，可向法院起诉行政机关不履行法定职责。需准备证据证明已提出申请且行政机关未答复（如申请书副本、邮寄凭证、催告记录等）。法院将审查行政机关是否具有相应职责及不答复是否合法，若认定违法，可判决其限期答复或直接履行职责。

4. 同步申请信息公开或举报

   • 信息公开：若履职事项涉及公共利益，可申请政府信息公开，要求行政机关公开相关处理依据或流程，间接推动其答复。
     
   • 举报监督：向纪检监察机关或上级部门举报行政机关不作为，通过内部监督压力促使其回应。

关键提醒：

• 所有沟通务必留存书面证据（如邮寄凭证、签收记录、录音录像等），避免口头交涉无痕。
  
• 若行政机关以“不属于职责范围”为由拒绝答复，需核实其法定职责（可通过政府官网、三定方案等查询），若确属越权拒绝，可同步追究其渎职责任。
  

建议行动顺序：

1. 再次书面催告（明确期限）→ 2. 申请行政复议（若未答复）→ 3. 提起行政诉讼（复议未果或直接诉讼）→ 4. 同步通过信息公开或举报施压。
   

如有具体材料或细节需分析，可直接提供，我将进一步指导操作。