针对您提出的“行政履职申请书没回复怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，您需要确认是否已经超过了法定的答复期限。不同类型的行政申请，其法定的答复期限是不同的。例如，行政许可申请通常在受理之日起二十日内作出决定，特殊情况可延长十日；而政府信息公开申请则应在收到申请之日起20个工作日内答复，且最长延长期限不超过20个工作日。因此，您需要对照相关法律法规，仔细核对是否已经超过了法定的答复期限。
如果尚未超过法定期限，或者刚刚超过法定期限，我建议您先尝试与行政机关进行沟通催问。您可以通过书面或电话等方式，礼貌地询问申请事项的进展情况，并提醒行政机关尽快处理。在书面沟通时，为了保留证据，您最好采用挂号信或特快专递等方式，并妥善保管好寄送凭证。
如果沟通催问后仍然没有得到回复，您可以考虑寻求行政系统内部的监督解决。具体来说，您可以：
向上级机关反映：向该行政机关的上一级行政机关提交申请书及相关证明材料，详细陈述情况，并请求上级机关责令其限期作出答复。
向行政监察机关投诉：各级监察委员会负责对公职人员进行监察。您可以向监察机关投诉行政机关不履行法定职责（包括不答复申请），监察机关将依法进行调查处理。
如果行政系统内部的监督解决途径仍然无法解决问题，您可以考虑通过法律救济途径来维护自身权益。具体来说，您可以：
申请行政复议：根据《中华人民共和国行政复议法》，如果行政机关的不答复行为侵犯了您的合法权益，您可以在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请（法律规定的申请期限超过六十日的除外）。复议申请书应详细说明复议请求、事实和理由，并附上相关证据。复议机关经审理认为行政机关确实存在不履行法定职责的情况，会责令其在一定期限内作出答复。
提起行政诉讼：如果您对行政复议结果不满意，或者不愿意经过行政复议程序，您可以直接向人民法院提起行政诉讼。诉讼应在知道或应当知道作出行政行为之日起六个月内提出（法律另有规定的除外）。在诉讼中，您需要提供证据证明自己提出过申请且行政机关未答复的事实。法院将根据审理情况判决行政机关履行答复职责，并可能判决行政机关承担相应赔偿责任。
最后，如果您在申请行政复议或提起行政诉讼过程中遇到法律难题或需要专业法律帮助，您可以寻求法律援助机构的帮助。法律援助机构将为符合条件的申请人提供法律咨询、代理等法律服务。
综上所述，面对行政机关不答复的情况，您应通过合法途径积极维护自身权益。从确认法定期限到沟通催问，再到寻求行政系统内部监督解决和法律救济途径，每一步都应谨慎而有序地进行。希望这些建议能对您有所帮助。