结论：因公事开私车发生交通事故，责任的认定与承担需根据具体情况分析，一般可能涉及用人单位、驾驶员个人以及保险公司等多方责任。以下是对此问题的详细分析：
交通事故责任划分：
- 首先，由交警部门进行事故责任认定，明确各方（包括驾驶员、其他车辆、行人等）在事故中的责任比例，如主要责任、同等责任、次要责任或无责任。这是后续确定赔偿责任的重要依据。
用人单位责任：
- 若驾驶员是在执行公务期间发生交通事故，且事故责任属于机动车一方，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。这意味着，在一般情况下，用人单位将承担相应的赔偿责任。
- 特殊情况：如果驾驶员未经用人单位同意，私自驾驶私车办公事（即公车私用但此处为私车公用之特殊情形，核心在于是否获单位许可），且用人单位能够证明该行为未经授权，那么用人单位可能不承担赔偿责任，或仅承担部分连带责任后向驾驶员追偿。但实践中，若单位未明确禁止且驾驶员行为符合单位利益，单位仍可能被认定为承担一定责任。
驾驶员个人责任：
- 虽然用人单位可能承担主要责任，但如果驾驶员在事故中存在故意或重大过失（如酒后驾驶、超速驾驶等），用人单位在承担赔偿责任后，有权向驾驶员追偿全部或部分损失。
保险赔偿：
- 对于事故给第三方造成的人身伤害和财产损失，若私车已购买交强险和商业险，首先由保险公司进行赔偿。保险公司将在保险限额范围内予以赔付。
- 注意：私车用于公务时，需确保保险覆盖公务使用场景，否则保险公司可能拒赔或部分拒赔。
其他特殊情况：
- 车辆质量问题：若事故由车辆本身的质量问题或故障导致，且该问题在出车前未被发现和排除，车辆所有人（即驾驶员本人，若其为车主）或车辆维修方可能承担一定责任。
- 不可抗力因素：若事故由不可预见、不可抗拒的自然灾害等原因导致，且驾驶员已尽到合理注意义务，则一般不承担责任，事故损失可能通过保险等途径解决。
- 第三人过错：若事故由第三人的过错引起，第三人应承担相应责任。
处理流程与建议：
- 立即报警并联系保险公司：发生事故后，应第一时间报警并通知保险公司，以便及时进行事故调查和理赔处理。
- 配合调查与认定：用人单位和驾驶员应积极配合交警部门的事故调查，确保事故认定书的准确出具。
- 收集证据：保留与事故相关的所有证据，包括现场照片、交警认定书、医疗记录、维修发票等，以备后续理赔和诉讼使用。
- 依法赔偿与处理：根据事故认定书和保险合同的约定，依法进行赔偿和处理。对于需要追偿的情况，应及时采取法律手段维护自身权益。
总结与提醒：因公事开私车发生交通事故时，责任的认定与承担需综合考虑多方面因素。为避免潜在风险，建议用人单位明确公务用车政策，包括是否允许私车公用、公务用车保险要求等；同时，驾驶员在执行公务时应严格遵守交通规则，确保行车安全。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。