原告当庭增加诉讼请求，是否应重新给予原告举证期限，这主要取决于增加诉讼请求的性质以及案件的具体情况，但通常情况下，法院会重新指定举证期限。以下是对此问题的详细分析：
法律依据与原则：
- 根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》的相关精神，当事人在举证期限内增加、变更诉讼请求或者提出反诉的，人民法院应当根据案件的具体情况重新指定举证期限。这是为了保障双方当事人的诉讼权利，确保他们有足够的时间来准备和提交与新增诉讼请求相关的证据。
增加诉讼请求的性质：
- 如果增加的诉讼请求与原有的诉讼请求紧密相关，且基于相同的事实和法律关系，那么法院可能会考虑不重新指定举证期限，或者指定一个相对较短的举证期限。
- 如果增加的诉讼请求与原有的诉讼请求相对独立，或者基于不同的事实和法律关系，那么法院通常会重新指定一个合理的举证期限，以便双方当事人能够充分准备和提交相关证据。
案件的具体情况：
- 法院在决定是否重新指定举证期限时，还会考虑案件的复杂程度、双方当事人的诉讼能力、证据的收集难度等因素。例如，如果案件涉及大量复杂的证据，或者一方当事人需要额外的时间来收集证据，那么法院可能会倾向于重新指定一个较长的举证期限。
实际操作中的考虑：
- 在实际操作中，如果原告当庭增加诉讼请求，法官通常会询问双方当事人的意见，并根据案件的具体情况来决定是否重新指定举证期限。如果双方当事人对举证期限没有异议，或者法院认为不需要重新指定举证期限也能保障诉讼的顺利进行，那么法院可能会直接进行庭审，而不再重新指定举证期限。
建议：
- 对于原告而言，如果打算在庭审中增加诉讼请求，最好提前与法院沟通，了解法院对于举证期限的规定和做法，以便做好充分的准备。
- 对于被告而言，如果原告当庭增加了诉讼请求，且认为需要额外的举证期限来准备和提交相关证据，可以向法院提出申请，请求法院重新指定举证期限。
可能后果：
- 如果法院重新指定了举证期限，双方当事人需要按照新的举证期限来准备和提交证据。如果一方当事人未能按时提交证据，可能会面临证据不被采纳的风险。
- 如果法院没有重新指定举证期限，而是直接进行了庭审，那么双方当事人需要当场提交与新增诉讼请求相关的证据。如果一方当事人未能当场提交证据，且没有合理的理由，那么该证据可能不会被法院采纳。
总之，原告当庭增加诉讼请求时，是否应重新给予原告举证期限，需要根据案件的具体情况和相关法律规定来综合判断。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。