对于没有配偶和子女的老人，其遗产的继承问题，主要依据《中华人民共和国民法典》中关于继承的相关规定来处理。具体来说，有以下几种情况：
存在遗嘱或遗赠扶养协议的情况：
- 如果老人在生前立有合法有效的遗嘱，或者与他人签订了遗赠扶养协议，那么其遗产将按照遗嘱或遗赠扶养协议的内容进行分配。这意味着，老人可以自由选择将遗产留给任何愿意接受遗赠的人，包括但不限于亲属、朋友或慈善机构等。
不存在遗嘱或遗赠扶养协议的情况：
- 在没有遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，老人的遗产将按照法定继承的顺序进行分配。根据《民法典》的规定，法定继承的第一顺序继承人包括配偶、子女和父母。由于本例中老人没有配偶和子女，因此如果其父母尚在，则遗产将由父母继承。
- 如果老人的父母也已经去世，或者父母明确表示放弃继承权，那么遗产将进入第二顺序继承，即由兄弟姐妹、祖父母、外祖父母继承。在本例中，若老人没有兄弟姐妹，且祖父母、外祖父母也已去世或放弃继承，那么遗产的继承问题将变得更为复杂。
- 特殊情况下的继承：在老人既没有第一顺序也没有第二顺序继承人的情况下，根据《民法典》第一千一百六十条的规定，遗产将归国家所有，用于公益事业；如果老人生前是集体所有制组织成员的，则归所在集体所有制组织所有。
法律建议：
- 提前规划：为了避免遗产继承过程中的纠纷和不确定性，建议老人在生前就对自己的财产进行规划，包括立遗嘱或签订遗赠扶养协议等。
- 咨询专业律师：在处理遗产继承问题时，由于涉及法律条款众多且情况复杂，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。
- 保持沟通：如果老人有多个亲属或潜在继承人，建议他们在老人生前就遗产继承问题进行沟通，以达成共识并减少后续纠纷的可能性。
可能面临的法律后果：
- 如果遗产继承问题处理不当，可能会导致家庭成员之间的纠纷和矛盾升级，甚至引发法律诉讼。
- 在没有遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，如果遗产的继承顺序和份额存在争议，可能需要通过法律途径来解决，这将耗费大量的时间和精力。
总结来说，没有配偶和子女的老人的遗产继承问题需要根据具体情况来处理。如果老人有遗嘱或遗赠扶养协议，则按照这些文件的内容进行分配；如果没有，则按照法定继承的顺序进行分配。在处理过程中，建议咨询专业律师以获取准确的法律意见和帮助。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。