结论前置：生病请病假期间，公司是否可以开除你，主要取决于你是否处于法定医疗期内以及医疗期满后的具体情况。在医疗期内，公司一般不得随意开除员工；医疗期满后，若员工无法从事原工作或另行安排的工作，公司在履行相应程序后可以解除劳动合同。
一、医疗期内的保护
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。
医疗期时长：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。具体时长根据员工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，从3个月到24个月不等。例如，实际工作年限十年以下、本单位工作年限五年以下的为三个月；实际工作年限十年以上、本单位工作年限五年以下的为六个月，以此类推。
公司行为限制：
- 在医疗期内，公司不得随意开除员工，否则构成违法解除劳动合同。员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿金的二倍，经济补偿金按员工在本单位工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计，不满六个月的支付半个月工资。
二、医疗期满后的处理
调岗或培训义务：
- 医疗期满后，若员工不能从事原工作，也不能胜任用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同。但前提是用人单位已证明对员工进行了合理的岗位调整或提供了必要的培训，且员工仍无法胜任。
经济补偿支付：
- 即使符合上述条件解除劳动合同，用人单位仍需向员工支付经济补偿金。补偿标准按照员工工作年限和月工资标准计算，与医疗期内的赔偿金计算方式相同。
三、特殊情况处理
严重违纪行为：
- 如果员工在请病假过程中存在严重违反公司规章制度的行为，如提供虚假的病假证明，公司在有充分证据的情况下，有权依据规章制度合法解除与员工的劳动合同，且无需支付经济补偿。
协商与调解：
- 若员工认为公司开除行为违法或不合理，可首先尝试与公司协商解决。协商无果的，可向企业劳动争议调解委员会或基层人民调解组织申请调解。
劳动仲裁与诉讼：
- 若调解无果，员工可在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内，向有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请。对仲裁结果不服的，可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
四、建议与注意事项
保留证据：
- 在整个过程中，务必妥善保管所有与病情、请假、劳动合同及开除相关的证据，如医院的诊断证明、病历、病假条、劳动合同、工资条、考勤记录等。
关注健康：
- 在处理劳动纠纷的同时，也要注意保护好自己的身体和精神状态，及时就医并关注身体健康。
及时咨询：
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况提供有针对性的法律建议。
综上所述，生病请病假期间公司是否可以开除你，取决于多种因素。在处理此类问题时，请务必保持冷静并保留好相关证据，以便在必要时维护自己的合法权益。