结论：公司在员工生病假期间一般不能随意开除员工，但存在特定情形下可以解除劳动合同，并需依据法律规定支付相应的经济补偿。以下从不同角度进行详细分析：
一、医疗期内的保护
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照该法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，公司无权随意开除员工，劳动合同受法律保护，公司必须继续履行。
医疗期定义与长度：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。其具体长度根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。例如，对于实际工作年限十年以下且在本单位工作年限五年以下的员工，医疗期为3个月；而对于工作年限更长的员工，医疗期则相应延长。
二、不可辞退的情形
医疗期内：如果员工生病请假且仍处于其法定的医疗期内，公司不得随意开除员工。此时，公司应继续支付员工病假工资或疾病救济费，这可以低于当地最低工资标准，但不能低于最低工资标准的80%。
无严重违纪行为：在医疗期内，除非员工存在严重违反公司规章制度的行为，如提供虚假的病假证明等，否则公司不得开除员工。
三、可辞退的情形及条件
尽管一般情况下不得解除，但也存在特殊情形：
员工存在过错：若员工在病假期间严重违反用人单位的规章制度，如伪造病假证明、同时与其他用人单位建立劳动关系并对完成本单位工作任务造成严重影响等，且符合《劳动合同法》第三十九条规定的情形，用人单位有权解除劳动合同，并且无需支付经济补偿。
医疗期满后无法从事工作：根据《劳动合同法》第四十条，如果员工在规定的医疗期满后仍然不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，那么用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但在此情况下，用人单位需要支付相应的经济补偿。经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
四、违法解除劳动合同的后果
如果公司在员工医疗期内或其他不合法情况下开除员工，属于违法解除劳动合同。员工有权要求公司继续履行劳动合同；如果劳动合同已经不能继续履行，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。
建议：公司在处理员工病假期间的劳动合同问题时，必须严格遵守相关法律法规，确保员工的合法权益得到充分保障。在通常情况下，不得随意开除病假期间的员工。但在特定情形下，如员工存在过错或医疗期满后无法从事工作，用人单位可以依法解除劳动合同，并需按照法律规定支付相应的经济补偿。如果你或你身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律建议和帮助。