结论：员工在病假期间，公司一般不能随意开除。但在特定情况下，如医疗期满且员工无法从事原工作或另行安排的工作，或员工严重违反公司规章制度，公司可以合法解除劳动合同。若违法解除，则需承担相应法律责任。
一、不能开除的情形及法律依据
医疗期内的保护：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条及《中华人民共和国劳动法》第二十九条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得依照相关法律规定解除劳动合同。
- 医疗期定义：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期时长：具体时长根据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，范围从3个月到24个月不等。例如，实际工作年限十年以下的，在本单位工作年限五年以下的为三个月；五年以上的为六个月。
无过错情况下的保护：
- 若生病员工未违反公司规章制度，未严重失职，且医疗期未满，用人单位通常不得随意开除。
二、可以开除的情形及法律依据
医疗期满后的处理：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若劳动者在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
- 实例说明：如员工小李医疗期满后仍无法从事原工作或新安排的工作，用人单位履行法定程序后可解除劳动合同。
员工存在过错：
- 如生病员工存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形（如严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等），无论是否处于医疗期，用人单位均可解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 实例说明：如员工小张请病假时未提供正规医院的诊断证明和病假条，且经多次催告后仍不补办，违反了公司规章制度，公司可据此解除劳动合同。
三、用人单位违法开除的后果
- 若用人单位违反法律规定开除生病员工，员工有权要求用人单位继续履行劳动合同。
- 若员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已无法继续履行，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准：
- 按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若劳动者月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。
- 月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
四、建议
- 对于员工：在病假期间，应遵守公司规章制度，及时提供必要的医疗证明，以维护自己的合法权益。
- 对于公司：在处理员工病假问题时，应严格遵守相关法律法规，确保合法合规。在考虑解除劳动合同时，应充分评估员工的医疗期、工作能力及是否存在过错等因素，并履行必要的法定程序。
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