虚假宣传主要由市场监督管理部门（原工商行政管理部门）负责查处。以下是对这一问题的详细解析：

一、核心监管部门及职责

1. 市场监督管理部门

   • 主要职责：市场监督管理部门是虚假宣传监管的核心部门，负责全面监督各类市场主体的经营行为，包括广告宣传。一旦发现虚假宣传，该部门将依法采取责令停止违法行为、罚款、吊销营业执照等严厉措施。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国反不正当竞争法》、《中华人民共和国消费者权益保护法》及《中华人民共和国广告法》等相关法律法规，市场监督管理部门对虚假宣传具有明确的查处权力。
   • 实例说明：如某化妆品公司夸大产品功效进行虚假宣传，市场监督管理部门将介入调查，并根据违法情节的严重程度，依法给予相应的行政处罚。

2. 其他相关部门

   • 广播电视部门：针对通过广播、电视等平台发布的虚假宣传，广播电视部门负责审查节目内容，确保广告宣传活动符合规定。对于违规的虚假宣传，该部门将责令整改并对相关责任方进行处罚。
   • 互联网信息办公室：随着互联网的普及，互联网信息办公室成为监管网络虚假宣传的重要力量。该部门负责监督管理互联网信息内容，对网站、社交媒体、网络直播等平台上出现的虚假宣传行为进行治理，要求平台方整改并对发布者进行查处。
   • 行业主管部门：在某些特定领域或行业中，如广告业、医疗业等，行业主管部门也可能参与对虚假宣传行为的监管。例如，国家广播电视总局等部门可能对涉及广告的虚假宣传进行专项整治。

二、虚假宣传的法律后果

根据《中华人民共和国广告法》第五十五条的规定，发布虚假广告的，由市场监督管理部门责令停止发布广告，责令广告主在相应范围内消除影响，并处以罚款。罚款的数额根据广告费用的倍数或者无法计算时的固定数额确定，情节严重的还可能吊销营业执照，并由广告审查机关撤销广告审查批准文件、一年内不受理其广告审查申请。若广告经营者、广告发布者明知或者应知广告虚假仍设计、制作、代理、发布的，也将受到相应的行政处罚。

三、消费者维权建议

1. 收集证据：消费者在遇到虚假宣传时，应首先收集并保留好相关证据，如广告宣传资料、购房合同、聊天记录、现场照片或视频等。这些证据将有助于后续维权。
2. 及时投诉：发现虚假宣传行为后，消费者应及时向市场监督管理部门投诉举报。可以通过拨打12315热线或登录全国12315平台进行投诉举报，提交相关证据并详细说明虚假宣传内容。
3. 了解法律：消费者应熟悉相关法律法规，了解自己的权益和维权途径。这有助于更有效地维护自身合法权益，并在必要时向人民法院提起诉讼要求赔偿。

四、特殊领域的虚假宣传监管

在房地产等特殊领域，虚假宣传的监管可能涉及多个部门。除了市场监督管理部门外，住房和城乡建设部门（住建部门）或房地产管理部门也可能参与监管。若虚假宣传涉及违反房地产市场管理规定，如不实配套设施、规划信息误导消费者等，住建部门/房地产管理部门有权介入处理并要求开发商整改、处罚。

综上所述，虚假宣传的监管涉及多个部门，但市场监督管理部门是核心监管部门。消费者在遇到虚假宣传时，应根据具体情况选择合适的投诉渠道并寻求专业帮助和支持。同时，也提醒广大经营者要遵守法律法规，诚信经营，共同营造健康的市场环境。如有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。