医疗机构虚假宣传主要由市场监督管理部门进行管理。以下从不同角度进行详细分析：

1. 市场监督管理部门的职责：

   • 市场监督管理部门负责监管市场经营活动，包括广告宣传的合法性。医疗机构发布的广告，若存在虚假宣传、夸大疗效等情形，即属于市场监督管理部门的管理范畴。
   • 根据《中华人民共和国广告法》等相关法律法规，市场监督管理部门有权对虚假宣传行为进行查处，包括责令停止发布广告、罚款、吊销营业执照等处罚措施。

2. 卫生健康部门的辅助管理：

   • 虽然卫生健康部门主要负责医疗机构的准入、执业活动、医疗质量和安全等方面的监管，但在某些情况下，如医疗机构在宣传中涉及医疗技术、医疗效果等医疗专业内容时，卫生健康部门也可能根据相关规定进行辅助管理。
   • 如果虚假宣传行为同时违反了医疗管理方面的规定，卫生健康部门也有权依据相关法律法规进行查处。

3. 举报与投诉流程：

   • 若发现医疗机构存在虚假宣传行为，公众可以向当地的市场监督管理部门进行举报或投诉。举报方式包括直接拨打市场监督管理部门举报电话、向其官方网站或微信公众号等平台提交举报信息，或前往相关部门现场进行举报。
   • 在举报时，应尽可能提供详细的证据材料，如虚假宣传的广告截图、录音录像等，以便市场监督管理部门进行调查和处理。

4. 法律后果与维权建议：

   • 医疗机构因虚假宣传被查处的，将面临行政处罚，如罚款、责令停业整顿等。同时，若虚假宣传行为给消费者造成损害的，医疗机构还需承担民事赔偿责任。
   • 对于消费者而言，若因医疗机构虚假宣传而遭受损失，可以依法向市场监督管理部门投诉或向人民法院提起诉讼，要求医疗机构承担相应的法律责任。在维权过程中，建议保留好相关证据材料，如医疗记录、收费单据、广告截图等，以便证明自己的主张。

综上所述，医疗机构虚假宣传主要由市场监督管理部门进行管理。公众在发现医疗机构存在虚假宣传行为时，应及时向相关部门进行举报或投诉，并保留好相关证据材料以便维权。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。