公众号进行虚假宣传，一般由市场监督管理部门进行处罚。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与处罚部门
根据《中华人民共和国广告法》的相关规定，广告不得含有虚假或者引人误解的内容，不得欺骗、误导消费者。广告主应当对广告内容的真实性负责。对于公众号等自媒体平台上的虚假宣传行为，同样适用这一规定。市场监督管理部门作为广告监管的主管部门，有权对虚假宣传行为进行查处和处罚。
二、处罚措施
市场监督管理部门在查处公众号虚假宣传行为时，可能会采取以下措施：
责令停止发布广告：对于正在发布的虚假广告，市场监督管理部门有权责令广告主立即停止发布。
责令广告主在相应范围内消除影响：广告主需要在其发布虚假广告的范围内，采取措施消除不良影响，如发布更正声明等。
罚款：根据虚假宣传的严重程度和影响范围，市场监督管理部门可以对广告主处以罚款。罚款的数额根据《中华人民共和国广告法》的规定，可能达到广告费用三倍以上五倍以下，或者二十万元以上一百万元以下的罚款。对于情节严重的，还可能面临更高额度的罚款，甚至吊销营业执照等更严厉的处罚。
三、特殊情况与考虑因素
如果虚假宣传行为涉及其他违法行为：如侵犯知识产权、不正当竞争等，那么除了市场监督管理部门外，还可能涉及其他相关部门如知识产权局、工商局（现市场监督管理局内设机构）等的联合查处。
如果虚假宣传行为造成严重后果：如导致消费者重大损失、引发社会广泛关注等，那么处罚的力度可能会更大，甚至可能涉及刑事责任。
四、建议与提醒
对于公众号运营者：应严格遵守相关法律法规，确保发布的内容真实、准确、合法，避免进行虚假宣传。
对于消费者：如果发现公众号存在虚假宣传行为，可以向市场监督管理部门举报，维护自己的合法权益。
在面临处罚时：广告主应积极配合市场监督管理部门的调查和处理工作，如实提供相关证据和信息，以便尽快解决问题并减轻处罚。
如果您在公众号运营或广告发布过程中遇到任何法律问题，或者对虚假宣传行为的处罚有进一步的疑问，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律解释和建议。