员工被顾客打伤，赔偿责任的承担需根据具体情况来分析，主要有以下几种情况：
顾客直接承担赔偿责任：
- 如果顾客的行为构成故意伤害，且员工受伤与顾客的行为有直接因果关系，那么顾客应当承担赔偿责任。这包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要的营养费等因治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。如果造成残疾，还应赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿上述相关费用。
雇主（即员工所在单位）可能承担的责任：
- 如果员工是在执行工作任务过程中被顾客打伤：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。虽然这一条款主要规定的是员工造成他人损害时用人单位的责任，但反向理解，如果员工在执行工作任务中受害，且该伤害与工作任务有直接关联，用人单位在承担相应管理责任的同时，也可能基于劳动保护义务为员工提供一定的支持或协助追偿。不过，直接的经济赔偿责任通常仍由侵权人（即顾客）承担，用人单位可能通过工伤保险等途径为员工提供一定的保障。
- 如果用人单位存在过错：如未提供安全的工作环境、未对员工进行必要的安全培训等，导致员工被顾客打伤，用人单位可能因自身的过错而承担相应的赔偿责任。这种情况下，赔偿责任可能是与顾客共同承担，也可能是根据过错程度分别承担。
工伤保险的适用：
- 如果员工已经参加了工伤保险，且被认定为工伤，那么员工可以享受工伤保险待遇。这包括工伤医疗费用、康复费用、住院伙食补助费、到统筹地区以外就医的交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用、生活不能自理的经劳动能力鉴定委员会确认的生活护理费、一次性伤残补助金和一至四级伤残职工按月领取的伤残津贴等。
- 法律依据：根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤，并享受相应的工伤保险待遇。
建议与行动指南：
- 及时报警并保留证据：员工被顾客打伤后，应立即报警并保留好相关证据，如医疗记录、现场照片、证人证言等，以便后续维权。
- 申请工伤认定：如果员工认为自己的伤害属于工伤，应及时向用人单位提出工伤认定申请，并按照规定的程序进行认定。
- 协商或诉讼：根据具体情况，员工可以与顾客或用人单位进行协商，寻求赔偿；如果协商不成，可以通过法律途径提起诉讼，维护自己的合法权益。
总结来说，员工被顾客打伤后的赔偿责任承担需根据具体情况来分析，包括顾客的行为性质、员工是否在执行工作任务、用人单位是否存在过错以及是否参加工伤保险等因素。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。