结论：医院合同到期不续签也没让离职的情况，涉及劳动合同终止与劳动关系存续的复杂问题，需根据具体情况分析处理。以下从不同角度为您详细阐述：
合同到期不续签的法律后果
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，劳动合同即行终止。若医院选择不续签劳动合同，原则上应当向劳动者支付经济补偿（除非是劳动者主动提出不续签，且医院维持或提高原劳动合同条件续订而劳动者拒绝的情况）。
- 经济补偿的计算标准通常为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
医院未让离职的法律分析
- 若医院在合同到期后未明确表示续签也未让离职，这可能导致劳动关系处于一种不明确的状态。从法律角度讲，这并不意味着劳动关系自动延续，但确实可能给劳动者带来困惑和不便。
- 在这种情况下，劳动者有权要求医院明确劳动关系状态，即是否续签劳动合同或终止劳动关系。若医院拒绝明确或拖延处理，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
劳动者的应对策略
- 主动沟通：首先，劳动者可以尝试与医院的人力资源部门或相关负责人进行沟通，了解医院对于劳动合同续签或终止的具体态度和计划。
- 书面确认：若沟通无果或医院态度模糊，劳动者可以书面形式向医院提出确认劳动关系状态的请求，并保留好相关证据（如邮件、短信、录音等）。
- 申请劳动仲裁：若医院仍未给予明确答复或拒绝处理，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求医院明确劳动关系状态并支付相应的经济补偿（如适用）。
特殊情况下的处理
- 若劳动者在合同到期时处于孕期、产期、哺乳期等特殊保护期，根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，医院不得单方面终止劳动合同，而应当续延至相应的情形消失时终止。
- 在此情况下，若医院试图不续签劳动合同且未让离职，劳动者可以坚决维护自己的合法权益，并向劳动监察部门或劳动仲裁委员会寻求帮助。
建议：面对医院合同到期不续签也没让离职的情况，劳动者应保持冷静，主动与医院沟通并明确劳动关系状态。若医院态度模糊或拒绝处理，劳动者应及时寻求法律帮助，通过劳动仲裁等途径维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。