当劳动合同到期，员工既不续签也不辞职时，用人单位应当采取一系列措施来妥善处理这种情况。以下是我给出的具体建议：
一、明确法律关系
首先，要明确的是，劳动合同到期后，如果双方没有续签新的劳动合同，但员工仍然继续工作，且用人单位没有提出异议，那么根据法律规定，双方之间将形成事实劳动关系。然而，在员工明确表示不续签劳动合同的情况下，用人单位有权依法终止劳动关系。
二、具体处理步骤
书面通知：
- 用人单位应当书面通知员工，明确告知劳动合同已经到期，并询问员工是否有续签的意向。
- 如果员工明确表示不续签，用人单位应当在通知中明确告知终止劳动关系的时间，并要求员工在规定时间内办理离职手续。
办理离职手续：
- 员工应当在收到通知后，按照用人单位的要求办理离职手续，包括但不限于工作交接、归还公司财物、结算工资等。
- 如果员工逾期未办理离职手续，用人单位可以依据公司的规章制度进行处理，如按旷工处理、停发工资、停止缴纳社保等。
法律途径：
- 如果员工拒不配合办理离职手续，且其行为对用人单位的正常经营造成较大影响，用人单位可以依法向劳动仲裁机构申请仲裁，要求员工办理离职并赔偿因逾期离职给用人单位造成的损失。
三、注意事项
保留证据：
- 用人单位在处理过程中应当注意保留相关证据，如书面通知、快递单、员工回复等，以备后续可能出现的法律纠纷。
依法处理：
- 用人单位在处理员工不续签也不离职的情况时，应当严格遵守法律法规和公司的规章制度，避免产生法律风险。
沟通协商：
- 尽管法律赋予了用人单位终止劳动关系的权利，但在实际操作中，仍然建议用人单位与员工进行沟通协商，尽量以和平的方式解决争议。
综上所述，当劳动合同到期员工不续签也不辞职时，用人单位应当书面通知员工明确终止劳动关系的时间，并要求员工办理离职手续。如果员工拒不配合，用人单位可以依法采取相应措施维护自身权益。同时，用人单位在处理过程中应当注意保留证据、依法处理，并尽量与员工进行沟通协商。