结论：对于私立学校51岁无编制老师签订3年合同的情况，是签订劳动合同还是退休返聘协议，主要取决于该老师是否已经达到法定退休年龄并办理了退休手续。以下分两种情况详细说明：

1. 若老师尚未达到法定退休年龄或虽达到但未办理退休手续：

   • 法律分析：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。在此情况下，由于老师尚未退休，其与学校之间的关系属于劳动关系，因此应当签订劳动合同。
   • 建议：学校应与老师签订劳动合同，明确双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬、社会保险等条款。

2. 若老师已经达到法定退休年龄并办理了退休手续：

   • 法律分析：根据《最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律问题的解释（一）》等相关规定，用人单位与其招用的已经依法享受养老保险待遇或者领取退休金的人员发生用工争议而提起诉讼的，人民法院应当按劳务关系处理。在此情况下，由于老师已经退休，其与学校之间的关系不再属于劳动关系，而是劳务关系，因此应当签订退休返聘协议。
   • 建议：学校应与老师签订退休返聘协议，明确双方的权利和义务，但需要注意的是，退休返聘协议不属于劳动合同，因此不受《中华人民共和国劳动合同法》的调整。在协议中，可以约定工作内容、工作时间、劳动报酬等条款，但无需约定社会保险等劳动关系特有的内容。

额外提醒：

• 在签订任何合同或协议前，建议双方都仔细阅读合同条款，确保理解并同意其中的内容。
• 如果对合同条款有疑问或不确定的地方，可以寻求专业法律人士的帮助，以确保合同的合法性和有效性。
• 无论是签订劳动合同还是退休返聘协议，都应当遵循公平、自愿、协商一致的原则，确保双方的权益得到保障。

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