结论：老板能否签字同意工友进行手术，需根据具体情况判断，但通常老板并非法定医疗同意权人，其签字可能不具有直接法律效力。不过，若老板的行为符合一定条件，如构成表见代理或得到工友或其家属的明确授权，则可能被视为有效。

详细分析：

1. 法定医疗同意权人：

   • 在一般情况下，医疗同意权属于患者本人。当患者因伤病无法表达意愿时，通常由其近亲属（如配偶、父母、子女等）代为行使医疗同意权。
   • 老板并非患者的法定近亲属，因此，在未经患者或其家属明确授权的情况下，老板签字同意手术可能不具有直接的法律效力。

2. 表见代理的情况：

   • 如果老板在工友受伤后，以工友或其家属的名义与医院沟通，并使得医院有理由相信老板具有代表工友或其家属作出医疗决定的权限（即构成表见代理），那么老板的签字可能在一定程度上被视为有效。
   • 但这种情况需要满足一定的条件，如老板之前经常代表工友处理类似事务、医院对老板的身份和权限没有产生合理怀疑等。

3. 得到明确授权的情况：

   • 如果工友或其家属在受伤前或受伤后明确授权老板代表其作出医疗决定，包括签字同意手术等，那么老板的签字将具有法律效力。
   • 这种授权可以是口头的，但为了确保权益，最好以书面形式进行，并明确授权的范围和期限。

4. 法律后果与建议：

   • 如果老板未经授权签字同意手术，且该行为导致工友或其家属遭受损失，老板可能需要承担相应的法律责任，如赔偿损失等。
   • 因此，建议老板在工友受伤后，及时与工友或其家属沟通，明确医疗决定的权限和方式。如果工友或其家属无法亲自作出决定，老板可以协助联系其近亲属或寻求法律援助，以确保医疗决定的合法性和有效性。

额外建议：

• 对于工友来说，在受伤后应及时告知家属或寻求法律援助，以确保自己的医疗权益得到保障。
• 对于老板来说，应了解并遵守相关法律法规，避免因未经授权的医疗决定而引发法律纠纷。

如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律解答。