结论：员工到达退休年龄后，公司与员工的劳动合同是否终止、公司是否可以“辞退”，需根据员工是否开始依法享受基本养老保险待遇以及具体地区的司法实践来确定。以下是具体分析：
一、员工开始依法享受基本养老保险待遇
劳动合同终止：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当员工开始依法享受基本养老保险待遇时，劳动合同即告终止。此时，公司与员工之间的劳动关系基于法律规定自然结束，不属于辞退范畴，公司无需支付经济补偿或赔偿金。
后续工作安排：
- 若员工在退休后仍希望在公司继续工作，且公司同意，双方可以协商签订新的劳务合同或其他协议。此时双方建立的是劳务关系而非劳动关系，相关权利义务将按照劳务合同的约定执行。
二、员工达到退休年龄但未享受基本养老保险待遇
劳动合同终止的地区实践：
- 在部分地区，依据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第二十一条，劳动者达到法定退休年龄时，劳动合同即终止。这些地区认为，只要员工达到法定退休年龄，无论其是否享受基本养老保险待遇，劳动合同都自然终止。此时同样不涉及辞退问题，公司也无需支付经济补偿或赔偿金。
劳动关系继续存在的地区实践：
- 在另一些地区，仅以达到法定退休年龄为由并不能直接终止劳动合同。如果员工未享受基本养老保险待遇，双方劳动关系依然存续。此时，若公司希望解除劳动合同，必须符合《中华人民共和国劳动合同法》规定的合法解除情形，如员工严重违反用人单位规章制度、不能胜任工作等。
- 违法解除的后果：若公司无法定理由解除劳动合同，将构成违法解除，需要向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍，具体计算方式依据员工在本单位工作的年限来确定，计算公式为：赔偿金=2×经济补偿=2×工作年限×月工资（月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。
特殊劳动关系认定：
- 在某些地区，即使员工达到退休年龄但未享受退休待遇，若单位继续用工，双方关系可能被认定为特殊劳动关系。此时公司解除关系同样需符合法定情形，否则可能需要支付赔偿金。
三、建议与注意事项
核实养老保险待遇情况：
- 公司在处理员工退休问题时，应首先核实员工是否已经开始依法享受基本养老保险待遇，这是判断劳动合同是否终止的关键依据。
遵循地区司法实践：
- 由于不同地区对达到退休年龄但未享受养老保险待遇员工的劳动关系认定存在差异，公司应了解并遵循所在地区的司法实践，以避免法律风险。
合法解除劳动合同：
- 在劳动关系继续存在的情况下，如需解除劳动合同，公司应确保符合法定解除情形，并保留相关证据，以证明解除行为的合法性。
协商与沟通：
- 对于退休后希望继续工作的员工，公司应与其进行充分协商，明确双方的权利义务，并签订书面协议，以避免后续纠纷。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。