供应商不开发票，可通过以下法律途径解决，具体步骤及法律依据如下：

1. 明确法律关系及责任主体
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条，销售商品、提供服务的单位或个人（供应商）在收取款项时，有义务向付款方（采购方）开具发票。若供应商未履行该义务，采购方有权要求其开具；若拒绝开具，可依法追究其行政责任或通过民事诉讼主张权益。

2. 行政投诉途径

   • 投诉对象：向供应商所在地税务机关（如税务局）举报其未按规定开具发票的行为。
     
   • 法律依据：根据《发票管理办法》第三十五条，供应商未开具发票的，由税务机关责令改正，可处1万元以下罚款；有违法所得的予以没收。
     
   • 操作建议：提交书面投诉材料，附上合同、付款凭证、沟通记录等证据，要求税务机关介入调查并督促供应商补开发票。

3. 民事诉讼途径

   • 案由选择：以“买卖合同纠纷”或“服务合同纠纷”为案由，起诉供应商要求履行开具发票的合同义务。
     
   • 诉讼请求：
     
     1. 判令被告（供应商）立即开具合法有效的发票；
        
     2. 若因未开发票导致原告（采购方）无法抵扣税款或遭受其他损失（如滞纳金、罚款），可一并主张赔偿。
        
   • 证据准备：
     
     • 合同或订单：证明双方存在交易关系；
       
     • 付款凭证：证明已履行付款义务；
       
     • 沟通记录：如邮件、微信等，证明曾要求对方开具发票但被拒绝；
       
     • 税务机关出具的证明（如有）：证明因未开发票导致的实际损失。
       
   • 注意事项：
     
     • 民事诉讼中，法院可能仅判决供应商履行开具发票的义务，但无法直接强制其开具（需通过税务机关协助执行）；
       
     • 若供应商已注销或下落不明，需提前申请财产保全或公告送达，增加诉讼成本。

4. 刑事风险提示（极端情况）
   若供应商通过不开发票隐匿收入、偷逃税款，且数额较大（如达到刑法第二百零一条规定的“逃税罪”标准），可向公安机关经侦部门报案，追究其刑事责任。但此途径需以税务机关认定逃税事实为前提，通常作为补充手段。

行动建议：

1. 优先通过税务投诉解决，成本低且效率高；
   
2. 若投诉无果或损失较大，再启动民事诉讼；
   
3. 全程保留书面证据，避免口头沟通无记录；
   
4. 具体操作前可进一步向我提供合同、沟通记录等材料，以便制定更精准的诉讼策略。