在保险代位求偿的情境下，关于保险公司是否会起诉全责方的问题，这确实是一个涉及法律程序和保险实践的重要议题。以下是我为您提供的详细解答：

一、保险公司代位求偿权的法律基础

首先，我们需要明确的是，保险公司代位求偿权是有明确的法律依据的。根据《保险法》的相关规定，当被保险人因第三方（即全责方）的损害行为导致保险事故发生并遭受损失时，被保险人有权向自己的保险公司申请先行赔付。保险公司在按照保险合同约定向被保险人支付赔款后，就依法取得了代位求偿权。这意味着，保险公司有权在赔偿金额范围内，以自己的名义向全责方进行追偿。

二、保险公司起诉全责方的必要性

保险公司起诉全责方，主要是出于弥补自身损失的考虑。在代位赔偿的过程中，保险公司已经承担了本应由全责方承担的赔偿责任。为了维护自身的合法权益，保险公司必须依据法律规定，通过法律途径向全责方追讨已赔付的款项及相关合理费用。

三、保险公司起诉全责方的优势

作为专业的保险机构，保险公司在起诉全责方时具有显著的优势。一方面，保险公司拥有丰富的法律知识和诉讼经验，能够更有效地维护自身的合法权益；另一方面，保险公司集中了专业的法律资源和力量，能够提高诉讼的效率和成功率，确保追偿工作的顺利进行。

四、特殊情况下的被保险人权利

尽管在大多数情况下是由保险公司起诉全责方，但在某些特殊情况下，被保险人也可能保留起诉全责方的权利。例如，如果保险公司在代位赔偿后未能完全弥补被保险人的损失，被保险人可以就剩余部分损失向全责方另行起诉。另外，如果因保险公司与被保险人之间的纠纷或其他原因导致保险公司未积极行使代位求偿权，被保险人也可以保留自己起诉全责方的权利。

五、代位追偿的法律效果

如果保险公司成功向全责方追偿，那么被保险人与全责方之间相应的债权债务关系就得到了解决，被保险人再行起诉将缺乏法律依据。然而，如果代位追偿未能弥补全部损失，被保险人或保险公司（视具体情况而定）仍有权就未获赔部分向全责方主张权利。

总结与建议：

综上所述，在保险代位求偿制度下，保险公司代位赔偿后通常由保险公司作为原告起诉全责方以追偿损失。然而，在特定情况下，被保险人也可能保留起诉全责方的权利。因此，在实际操作中，建议您根据具体情况和法律规定进行判断和处理。如果您作为被保险人遇到了相关问题，可以及时与保险公司沟通并咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到妥善保护。