结论：承租人买下抵押债权后，其租赁行为的合法性需根据具体情况判断，主要取决于债权转让是否影响租赁合同的效力以及租赁合同本身的合法性。
一、债权转让与租赁合同的关系
债权转让不影响租赁合同效力：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，债权人转让债权的，受让人取得与债权有关的从权利，但是该从权利专属于债权人自身的除外。在抵押债权转让的情况下，如果租赁合同是作为抵押债权的从权利存在（即租赁合同是抵押物的一部分或与抵押物紧密相关），且该从权利不专属于原债权人，那么债权转让后，受让人（即新的债权人，可能是承租人自己）将取得该从权利，租赁合同继续有效。
- 例子：假设某房产被抵押给银行，同时该房产被出租给承租人。若银行将抵押债权转让给承租人，承租人成为新的债权人后，原租赁合同继续有效，承租人作为新债权人可以继续享有租赁权益。
租赁合同本身的合法性：
- 租赁合同的合法性取决于其是否符合法律法规的规定，如租赁期限、租金支付方式、租赁物的用途等是否合法。如果租赁合同本身存在违法情形，如租赁期限超过法定最长租赁期限、租金支付方式违反法律法规等，那么无论债权是否转让，租赁合同都可能被认定为无效或部分无效。
二、承租人买下抵押债权后的特殊情况
承租人成为抵押权人：
- 如果承租人买下抵押债权后成为抵押权人，其租赁行为需同时遵守抵押权人和承租人的双重身份规定。此时，承租人需确保其行使抵押权的行为（如处置抵押物）不会损害租赁合同的效力，除非租赁合同中有特别约定或法律法规另有规定。
租赁合同与抵押权的冲突：
- 在某些情况下，租赁合同可能与抵押权产生冲突。例如，如果租赁合同签订在抵押权设立之后，且租赁期限覆盖了抵押权的实现期限，那么抵押权人在实现抵押权时可能会受到租赁合同的限制。然而，如果承租人买下抵押债权后成为抵押权人，其需自行平衡租赁权益与抵押权益的关系。
三、法律建议
审查租赁合同：
- 承租人在买下抵押债权前，应仔细审查租赁合同的内容，确保其合法性并了解租赁合同与抵押权的关系。
咨询专业律师：
- 由于涉及复杂的法律关系和权益平衡问题，建议承租人在买下抵押债权前咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和指导。虽然此处我作为赵可律师已经给出了一些基本分析，但每个具体案件都有其独特性，需要更详细的法律分析。
注意风险防控：
- 承租人在买下抵押债权后，应密切关注抵押物的状况和市场变化，及时采取风险防控措施，以避免因抵押物价值下降或市场变化导致的损失。
进一步思考：在实际操作中，承租人买下抵押债权后的租赁行为合法性还可能受到其他因素的影响，如当地法律法规的具体规定、租赁合同中的特别约定等。因此，在做出决策前，承租人应进行全面的法律分析和风险评估。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，可以直接向我咨询。