结论：试用期第二个月被违法辞退，公司应当支付赔偿金，赔偿金通常为经济补偿标准的二倍，即1个月工资（假设试用期不满6个月）。同时，劳动者还有权要求公司出具解除劳动合同的证明，并在一定条件下可要求继续履行劳动合同或获得其他相关赔偿。
一、赔偿金的具体计算与依据
- 赔偿金计算：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 试用期通常较短，一般不满6个月，因此经济补偿为半个月工资。但根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。所以，试用期被违法辞退的赔偿金为1个月工资。
- 这里的“工资”指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者工作不满12个月，则按实际工作的月数计算平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在地区上年度职工月平均工资的三倍，经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，违法辞退的赔偿金也相应按照此标准的二倍计算。
计算公式：
- 若月工资未超过地区上年度职工月平均工资三倍：赔偿金 = 1个月工资（即劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资）
- 若月工资超过地区上年度职工月平均工资三倍：赔偿金 = 2 × (地区上年度职工月平均工资的三倍)
- 法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条、第八十七条。
二、其他相关权益
解除劳动合同的证明：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
继续履行劳动合同的可能性：
- 若劳动者希望继续履行劳动合同，且原用人单位仍具备继续履行的条件（如岗位未撤销、经营状况正常等），劳动者可在仲裁或诉讼中明确提出继续履行劳动合同的请求，并提供证据证明用人单位解除或终止行为违法。但需注意，若劳动者已找到新工作，且新工作与原劳动关系存在冲突（如工作时间重叠、竞业限制等），或原用人单位已无法继续履行（如破产、关闭等），继续履行原劳动关系的请求可能因客观条件变化而不被支持。
无需赔偿的情形：
- 在试用期内，若劳动者存在以下情形之一，用人单位可以解除劳动合同且无需支付赔偿：在试用期间被证明不符合录用条件的；严重违反用人单位的规章制度的；严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正的；因以欺诈、胁迫的手段或乘人之危，使对方在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同而导致合同无效的；被依法追究刑事责任的。
三、维权途径
与用人单位协商：
- 劳动者可首先尝试与用人单位进行协商，指出其辞退行为的违法性，并要求支付赔偿金。通过友好协商解决纠纷，既维护了劳动者的权益，也有利于保持双方的良好关系。
申请劳动仲裁：
- 仲裁时效：自被辞退之日起1年内，劳动者可向当地人力资源和社会保障局（原劳动局）内的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 准备材料：需提交仲裁申请书（明确仲裁请求、事实和理由等）、证据材料（如劳动合同、工资支付记录、辞退通知、工作证、考勤记录等能证明劳动关系和辞退事实的材料）以及身份证明等。
- 仲裁流程：仲裁委员会受理申请后，将组织双方进行调解或开庭审理，并根据事实和法律作出裁决。
提起诉讼：
- 如对仲裁裁决结果不服，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起15日内向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，劳动者需提供充分证据支持自己的主张，法院将根据法律和事实进行判决。
建议：若您在试用期第二个月被违法辞退，建议您首先收集相关证据，如劳动合同、工资支付记录、辞退通知等，然后尝试与用人单位协商解决。若协商无果，您可在规定时间内向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。