关于总公司签订的合同，分公司是否可以给合同相对方开票的问题，这确实是一个涉及法律和税务处理的复杂问题。以下是我为您提供的详细解答：
一、法律层面分析
分公司授权与合同签订：
- 分公司作为总公司的分支机构，其权限通常来源于总公司的授权。若总公司明确授权分公司可以代表其签订合同并提供服务，那么分公司在此授权范围内行事是合法的。
- 若合同涉及重大事项或超出分公司的常规授权范围，应由总公司直接签订或进行事后追认，以确保合同的法律效力。
合同约定与开票主体：
- 合同中应明确约定发票的开具主体。若合同明确约定由分公司负责开票，那么分公司应履行此义务。
- 若合同未明确约定开票主体，而实际由分公司开票，可能引发合同相对方的异议或纠纷。因此，建议在合同中明确约定开票主体及相关责任。
潜在法律纠纷风险：
- 在发生法律纠纷时，合同主体和责任承担可能会成为争议焦点。因此，企业应确保分公司与总公司在业务操作上的连贯性和关联性，以及责任承担的明确性，以降低法律纠纷风险。
二、税务层面分析
增值税处理：
- 根据税法规定，应遵循“三流一致”原则（货物流、资金流、发票流），确保业务真实且合理。
- 若总公司签订合同后，通过内部授权或三方协议让分公司提供服务并开具发票，且发包方可以凭此抵扣进项税额（如建筑行业），那么这种操作在税务上是允许的。
- 对于非建筑行业，若甲方不同意与分公司签合同或总公司不允许分公司独立签合同，建议签订三方合同以明确分公司的执行、收款、开票角色，以防范涉税风险。
企业所得税处理：
- 分公司和总公司通常作为一个纳税主体进行企业所得税的申报和缴纳。若总公司开票并统一核算收入和成本，在税务处理上符合规定。
- 内部成本分摊等事项需符合税法规定，以确保企业所得税计算的准确性。
税务风险：
- 若未遵守相关税法规定，可能引发税务风险，如被税务机关认定为虚开发票等。因此，企业应严格遵守税法规定，确保业务操作的合规性。
三、建议措施
完善内部管理制度：
- 企业应完善内部管理制度和授权流程，明确分公司签订合同的权限和总公司开票的合理性。
明确合同约定：
- 在合同中明确约定开票主体及相关责任，并向交易相对方充分披露分公司与总公司之间的关系，以降低法律纠纷和税务风险。
咨询专业意见：
- 在特殊情况下，如需分公司签合同、总公司开票，建议提前咨询专业律师和税务顾问的意见，确保操作符合相关法律法规和税务政策的要求。
保存相关资料：
- 企业应保存好相关业务资料和财务记录，以备不时之需，降低法律和税务风险。
综上所述，总公司签订的合同，分公司是否可以给合同相对方开票，取决于合同约定、内部授权以及税务处理等多个因素。为确保合规性，企业应谨慎处理此类问题，并在必要时咨询专业律师和税务顾问的意见。