结论前置：需要分情况讨论是否要给顾客开发票，具体如下：

1. 从发票开具的法定义务角度
   根据《中华人民共和国发票管理办法》第十九条规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。
   只要顾客是在您任职期间发生的消费行为（即使店长已离职），商家作为收款方仍负有开具发票的法定义务。若因店长离职拒绝开具，可能面临税务机关责令改正、罚款（最高1万元）等行政处罚。

2. 从交易真实性的角度
   若顾客能提供消费凭证（如付款记录、小票、合同等），证明交易真实发生，商家必须开具发票。若商家以“店长离职”为由拒绝，顾客可向税务机关举报（拨打12366纳税服务热线），税务机关将介入调查并要求补开发票。

3. 从内部管理责任的角度
   店长离职不影响商家对外承担的发票开具义务。若因内部交接问题导致无法及时开具，商家应先向顾客说明情况并承诺补开（如约定3个工作日内提供），同时尽快完善内部流程（如联系前店长获取交易记录、核对账目等）。若因内部管理疏漏导致无法补开，商家仍需承担法律责任。

建议行动步骤：

1. 立即核对顾客提供的消费凭证，确认交易真实性；
   
2. 若交易属实，无论店长是否在职，均应依法开具发票；
   
3. 若内部流程存在障碍（如前店长未交接资料），可先向顾客出具书面说明（注明补开时间），同时联系前店长或通过其他方式（如系统记录）获取交易信息；
   
4. 若顾客坚持当场开具且内部无法立即完成，可建议顾客留下联系方式，待资料齐全后邮寄或电子发送发票。
   

温馨提示：发票是消费者维权的重要凭证，也是商家纳税的依据。拒绝开具发票可能引发顾客投诉、税务处罚甚至法律纠纷，建议商家建立规范的发票管理制度，避免因人员变动影响合规经营。如有其他疑问，欢迎随时向我咨询。